勾股数

勾股数，又名商高數或毕氏数（Pythagorean triple），是由三个正整数组成的数组；能符合勾股定理（毕式定理）「$a^{2}+b^{2}=c^{2}$」之中，$(a,b,c)$的正整数解。而且，基于勾股定理的逆定理，任何边长是勾股数组的三角形都是直角三角形。

如果$(a,b,c)$是勾股数，它们的正整数倍数，也是勾股数，即$(na,nb,nc)$也是勾股数。若果$(a,b,c)$三者互质（它们的最大公因数是 1），它们就称为素勾股数或本原勾股數組。

找出素勾股数

以下的方法可用来找出素勾股数。设$m>n$、$m$和$n$均是正整数，

$a=m^{2}-n^{2}$

$b=2mn$

$c=m^{2}+n^{2}$

若$m$和$n$是互质，而且$m$和$n$為一奇一偶，计算出来的$(a,b,c)$就是素勾股数。（若$m$和$n$都是奇数，$(a,b,c)$就会全是偶数，不符合互质。）

所有素勾股数可用上述列式当中找出，这亦可推论到数学上存在无穷多的素勾股数。

例子

以下是小于 100 的素勾股数：

$a$	$b$	$c$
3	4	5
5	12	13
7	24	25
8	15	17
9	40	41
11	60	61
12	35	37
13	84	85
16	63	65
20	21	29
28	45	53
33	56	65
36	77	85
39	80	89
48	55	73
65	72	97

有些勾股数组可以有同一个最小的勾股数。第一个例子是 20 ，它在以下两组勾股数之中出现：$(20,21,29)$与$(20,99,101)$。

其中最先例子是5，它在以下兩組勾股數之中出現$(3,4,5)$及$(5,12,13)$。

在 15,386 组素勾股数的 1229779565176982820 ，它的最小与最大的勾股数组是：

$1229779565176982820$

$1230126649417435981$

$1739416382736996181$

与

$1229779565176982820$

$378089444731722233953867379643788099$

$378089444731722233953867379643788101$

试考虑它的质因数分解

$1229779565176982820=2^{2}\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29\times 31\times 37\times 41\times 43\times 47$

它质因数的个数涉及不少素勾股数。当然，数学上存在比它大的素勾股数。

性質

對於本原勾股數組$(a,b,c)$，$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，我們有

• $a,b,c$兩兩互質
• $a,b$其中一個是3的倍數
• $a,b$其中一個是4的倍數
• $a,b,c$其中一個是5的倍數

對於第二、三、四條性質的證明：

利用完全平方數$\equiv 0,1{\pmod {3}}$ 若$a,b$都不是3的倍數，則$a^{2}+b^{2}\equiv 2{\pmod {3}}$，導致$c^{2}\equiv 2{\pmod {3}}$ 矛盾，所以$a,b$一定有且只有一個數是3的倍數。

因為$(a,b,c)$是本原勾股數組，所以必有$a,b$一奇一偶。不妨設$a$為奇數，$b$為偶數，這時候對$a^{2}+b^{2}=c^{2}$兩邊同時${\bmod {8}}$，則會得到$b^{2}\equiv 0{\pmod {8}}$，故$4\mid b$，所以$a,b$一定有且只有一個數是4的倍數。

利用完全平方數$\equiv 0,1,4{\pmod {5}}$ 若$a,b,c$都不是5的倍數，則$a^{2}+b^{2}\equiv 0$或$2$或$3{\pmod {5}}$，而$c^{2}\equiv 1$ 或$4{\pmod {5}}$，矛盾，所以$a,b,c$一定有且只有一個數是5的倍數。

證畢。

找尋勾股數的小技巧

若需要一組最小數為奇數的勾股數，可任意選取一個 3 或以上的奇數，將該數自乘為平方數，除以 2，答案加減 0.5 可得到兩個新的數字，這兩個數字連同一開始選取的奇數，三者必定形成一組勾股數。但卻不一定是以這個選取數字為起首勾股數的最小可能或唯一可能，例如$(27,364,365)$並非是以 27 為起首的唯一勾股數，因為存在另一個勾股數是$(27,36,45)$，同樣也以 27 為首。

對於任何大於1的整數$x$，$x^{2}+1$、$x^{2}-1$與$2x$，三個數必為畢氏數，例如：代入$x$為2，則$x^{2}+1$為5，$x^{2}-1$為3，$2x$為4，$(3,4,5)$為一組畢氏數。

推廣

费马最后定理指出，若$a^{n}+b^{n}=c^{n}$，而$n$是大于 2 的整数，$(a,b,c)$即没有正整数解。

參見

• 勾股定理
• 費馬最後定理
• 特殊直角三角形#常見的勾股数

外部链接

• 談費瑪最後定理第 2 頁
• 勾股定理
• Javascript 计算器，用以计算 ($m^{2}-n^{2},2mn,m^{2}+n^{2}$) 公式，以及如何推论此公式。
• 120 三元數組 (doc)