李亞普諾夫方程

李亞普諾夫方程（英語：Lyapunov equation）是控制理論中的名詞，離散李亞普諾夫方程的型式如下：

$AXA^{H}-X+Q=0$

其中$Q$為埃尔米特矩阵，$A^{H}$為$A$的共轭转置。而連續李亞普諾夫方程則是

$AX+XA^{H}+Q=0$

李亞普諾夫方程應用在控制理論中的許多分支中，例如稳定性分析及最优控制。李亞普諾夫方程是得名自俄羅斯數學家亞歷山大·李亞普諾夫。

在穩定性中的應用

在以下的定理中，$A,P,Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}$，且$P$ 和$Q$是對應矩陣。而$P>0$的意思是指$P$矩陣為正定矩陣。

定理（連續時間版本）：給定任意$Q>0$，存在唯一$P>0$滿足$A^{T}P+PA+Q=0$的充份必要條件是線性系統${\dot {x}}=Ax$是全域漸近穩定。二次函數$V(z)=z^{T}Pz$是李亞普諾夫函數，可以驗證系統的穩定性。

定理（離散時間版本）：給定任意$Q>0$，存在唯一$P>0$滿足$A^{T}PA-P+Q=0$的充份必要條件是線性系統$x(k+1)=Ax(k)$是全域漸近穩定。$z^{T}Pz$為其李亞普諾夫函數。

求解的計算層面

有特殊的軟體可以求解李亞普諾夫方程。若是離散型式，常會用Kitagawa的Schur法，若是連續型式，則會用Bartels和Stewart的計算法。

解析解

定義$\operatorname {vec} (A)$（向量化）運算子是將矩陣A的所有列堆起来所形成的列向量，而$A\otimes B$是$A$和$B$的克罗内克积。兩種李亞普諾夫方程都可以用矩陣方程的解來表示。而且，若矩陣$A$穩定，解也可以用積分（連續時間）或是無限項和（離散時間）來表示。

離散時間

利用$\operatorname {vec} (ABC)=(C^{T}\otimes A)\operatorname {vec} (B)$的結果，可以得到

$(I_{n^{2}}-{\bar {A}}\otimes A)\operatorname {vec} (X)=\operatorname {vec} (Q)$

其中$I_{n^{2}}$為可相乘的單位矩陣。可以積分或或是求解線性方程，即可以得到$\operatorname {vec} (X)$。再將各列重新整理，即可得到$X$。

而且，若$A$穩定，解$X$也可以表示為

$X=\sum _{k=0}^{\infty }A^{k}Q(A^{H})^{k}$。

連續時間

再利用克罗内克积和$\operatorname {vec} (A)$運算子，可以得到矩陣方程

$(I_{n}\otimes A+{\bar {A}}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=-\operatorname {vec} Q,$

其中${\bar {A}}$是將$A$各元素取共軛得到的矩陣。

類似離散時間的情形，若$A$穩定，解$X$也可以表示為

$X=\int \limits _{0}^{\infty }e^{A\tau }Qe^{A^{H}\tau }d\tau$.

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外部連結

• Online Lyapunov equation solver