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保罗·寇恩：修订间差异

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'''保罗·约瑟夫·寇恩'''（{{lang-en|Paul Joseph Cohen}}，{{bd|1934年|4月2日|2007年|3月23日}}) 是一位[[美国]][[数学家]]，他证明[[策梅洛-弗兰克尔集合论|策梅洛-弗兰克尔公理系统]]加上选择公理 (ZFC) 不能反驳[[连续统假设]] (CH) 的否命题，而ZF不能反驳[[选择公理]] (AC) 的否命题。这一划时代的工作与[[哥德尔]]在1930年代的工作一起，证明了CH和AC分别独立于ZFC和ZF。寇恩在证明中创造了[[力迫法]]，如今力迫法已经成为[[公理集合论]]的一项基本技术。寇恩凭借连续统假设的独立性证明于1966年获得[[菲尔兹奖|菲尔兹奖章]]。
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== 早年经历 ==
== 早年经历 ==
保罗·寇恩生于美国[[新泽西州]]长滩（[[:en:Long Branch, New Jersey|Long Branch]]）的一个[[犹太]]家庭，1950年毕业于[[纽约市]]的Stuyvesant高中。
保罗·寇恩生于美国[[新泽西州]]{{le|Long Branch, New Jersey|Long Branch, New Jersey|长滩}}的一个[[犹太]]家庭，1950年毕业于[[纽约市]]的Stuyvesant高中。


1950年寇恩入读[[纽约市立大学]]布鲁克林学院。不过他了解到申请[[芝加哥大学]]的研究生院只需两年大学经历，因此于1953年从布鲁克林学院肄业。1954年寇恩在芝加哥大学取得硕士学位，1958年他在 [[:en:Antoni Zygmund|Antoni Zygmund]]的指导下获得博士学位。寇恩的博士论文题为《三角级数唯一性理论的一些问题》（''Topics in the Theory of Uniqueness of Trigonometric Series''）。
1950年寇恩入读[[纽约市立大学]]布鲁克林学院。不过他了解到申请[[芝加哥大学]]的研究生院只需两年大学经历，因此于1953年从布鲁克林学院肄业。1954年寇恩在芝加哥大学取得硕士学位，1958年他在{{le|Antoni Zygmund}}的指导下获得博士学位。寇恩的博士论文题为《三角级数唯一性理论的一些问题》（''Topics in the Theory of Uniqueness of Trigonometric Series''）。


== 学术生涯 ==
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* 1959-1961年，[[普林斯顿高等研究院]]博士后研究员。
* 1959-1961年，[[普林斯顿高等研究院]]博士后研究员。
* 1961年，获聘为[[斯坦福大学]]数学系助理教授。
* 1961年，获聘为[[斯坦福大学]]数学系助理教授。
* 1962年，升任斯坦福大学数学系副教授，同年获得 [[:en:Sloan Fellowship|Sloan 基金奖励]]。
* 1962年，升任斯坦福大学数学系副教授，同年获得[[斯隆奖]]。
* 1963年，凭借连续统假设的独立性证明获得 Research Corp. 奖。
* 1963年，凭借连续统假设的独立性证明获得 Research Corp. 奖。
* 1964年，升任斯坦福大学数学系教授。
* 1964年，升任斯坦福大学数学系教授。
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== 数学贡献 ==
== 数学贡献 ==
寇恩的博士论文和早期的研究内容是[[调和分析]]。1964年寇恩凭借[[数学分析|分析学]]论文《关于[[约翰·恩瑟·李特尔伍德|李特尔伍德]]猜想和幂等测度》（''On a conjecture of Littlewood and idempotent measures''）获得[[美国数学学会]]颁发的[[博修奖]]（[[:en:Bôcher Memorial Prize|Bôcher Memorial Prize]]）。
寇恩的博士论文和早期的研究内容是[[调和分析]]。1964年寇恩凭借[[数学分析|分析学]]论文《关于[[约翰·恩瑟·李特尔伍德|李特尔伍德]]猜想和幂等测度》（''On a conjecture of Littlewood and idempotent measures''）获得[[美国数学学会]]颁发的[[博谢纪念奖]]。


1960年代初，寇恩开始对连续统假设感兴趣。最终他发明了力迫法。在ZF协调的假设下，他运用力迫法构造了一个ZFC的模型M，M不满足CH，因此ZFC不能证明CH。另外，同样在ZF协调的假设下，寇恩运用力迫法扩张一个给定的ZFC模型M得到M[G]，然后取M[G]的一个子模型N，N满足ZF、然而不满足AC。寇恩的这两项工作和哥德尔在1930年代的工作一起，证明了CH独立于ZFC而AC独立于ZF，因此CH是ZFC上的一个[[不可判定]]问题。
1960年代初，寇恩开始对连续统假设感兴趣。最终他发明了力迫法。在ZF协调的假设下，他运用力迫法构造了一个ZFC的模型M，M不满足CH，因此ZFC不能证明CH。另外，同样在ZF协调的假设下，寇恩运用力迫法扩张一个给定的ZFC模型M得到M[G]，然后取M[G]的一个子模型N，N满足ZF、然而不满足AC。寇恩的这两项工作和哥德尔在1930年代的工作一起，证明了CH独立于ZFC而AC独立于ZF，因此CH是ZFC上的一个[[不可判定]]问题。
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凭借CH的独立性证明，寇恩于1966年获得菲尔兹奖章，并于1967年获得[[美国国家科学奖章]]。直至今天，寇恩的菲尔兹奖章依然是数理逻辑界获得的唯一一枚菲尔兹奖章。
凭借CH的独立性证明，寇恩于1966年获得菲尔兹奖章，并于1967年获得[[美国国家科学奖章]]。直至今天，寇恩的菲尔兹奖章依然是数理逻辑界获得的唯一一枚菲尔兹奖章。


寇恩生前是[[斯坦福大学]]的教授，也是一位出色的教师，他指导的博士生彼得·萨纳克（[[:en:Peter Sarnak|Peter Sarnak]]）是一位杰出的数学家、美国科学院院士和英国[[皇家学会]]会士。
寇恩生前是[[斯坦福大学]]的教授，也是一位出色的教师，他指导的博士生[[彼得·萨那克]]是一位杰出的数学家、美国科学院院士和英国[[皇家学会]]会士。


== 连续统假设 ==
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== 外部链接 ==
== 外部链接 ==
* [[数学谱系计划]]上的 [http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=6479 寇恩]
* [[数学谱系计划]]上的 [http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=6479 寇恩] {{Wayback|url=http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=6479 |date=20200811130958 }}
* [http://paulcohen.org paulcohen.org] - 寇恩纪念网站
* [https://web.archive.org/web/20070613110312/http://paulcohen.org/ paulcohen.org] - 寇恩纪念网站
* [http://news-service.stanford.edu/news/2007/april4/cohen-040407.html 斯坦福大学的寇恩讣文]
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2024年5月21日 (二) 17:06的最新版本

保罗·约瑟夫·寇恩（英語：Paul Joseph Cohen，1934年4月2日—2007年3月23日) ，美国数学家，他证明策梅洛-弗兰克尔公理系统加上选择公理 (ZFC) 不能反驳连续统假设 (CH) 的否命题，而ZF不能反驳选择公理 (AC) 的否命题。这一划时代的工作与哥德尔在1930年代的工作一起，证明了CH和AC分别独立于ZFC和ZF。寇恩在证明中创造了力迫法，如今力迫法已经成为公理集合论的一项基本技术。寇恩凭借连续统假设的独立性证明于1966年获得菲尔兹奖章。

早年经历

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保罗·寇恩生于美国新泽西州长滩（英语：Long Branch, New Jersey）的一个犹太家庭，1950年毕业于纽约市的Stuyvesant高中。

1950年寇恩入读纽约市立大学布鲁克林学院。不过他了解到申请芝加哥大学的研究生院只需两年大学经历，因此于1953年从布鲁克林学院肄业。1954年寇恩在芝加哥大学取得硕士学位，1958年他在Antoni Zygmund（英语：Antoni Zygmund）的指导下获得博士学位。寇恩的博士论文题为《三角级数唯一性理论的一些问题》（Topics in the Theory of Uniqueness of Trigonometric Series）。

学术生涯

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  • 1957-1959年，在获得博士学位之前曾先后执教于罗彻斯特大学和麻省理工大学。
  • 1959-1961年，普林斯顿高等研究院博士后研究员。
  • 1961年，获聘为斯坦福大学数学系助理教授。
  • 1962年，升任斯坦福大学数学系副教授，同年获得斯隆奖。
  • 1963年，凭借连续统假设的独立性证明获得 Research Corp. 奖。
  • 1964年，升任斯坦福大学数学系教授。
  • 1966年，获得菲尔兹奖章。
  • 1967年，获得美国国家科学奖章。
  • 2004年，从斯坦福大学退休，但任教直至2007年春季。
  • 生前是美国国家科学院和美国艺术科学院的院士。

数学贡献

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寇恩的博士论文和早期的研究内容是调和分析。1964年寇恩凭借分析学论文《关于李特尔伍德猜想和幂等测度》（On a conjecture of Littlewood and idempotent measures）获得美国数学学会颁发的博谢纪念奖。

1960年代初，寇恩开始对连续统假设感兴趣。最终他发明了力迫法。在ZF协调的假设下，他运用力迫法构造了一个ZFC的模型M，M不满足CH，因此ZFC不能证明CH。另外，同样在ZF协调的假设下，寇恩运用力迫法扩张一个给定的ZFC模型M得到M[G]，然后取M[G]的一个子模型N，N满足ZF、然而不满足AC。寇恩的这两项工作和哥德尔在1930年代的工作一起，证明了CH独立于ZFC而AC独立于ZF，因此CH是ZFC上的一个不可判定问题。

凭借CH的独立性证明，寇恩于1966年获得菲尔兹奖章，并于1967年获得美国国家科学奖章。直至今天，寇恩的菲尔兹奖章依然是数理逻辑界获得的唯一一枚菲尔兹奖章。

寇恩生前是斯坦福大学的教授，也是一位出色的教师，他指导的博士生彼得·萨那克是一位杰出的数学家、美国科学院院士和英国皇家学会会士。

连续统假设

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据说在研究连续统假设的过程中，寇恩曾经感到其他数学家认为没有希望解决这个问题，因为当时没有构造集合论模型的新方法。1985年寇恩接受采访时提到，人们甚至认为考虑这个问题的人多少有点疯狂。

寇恩的独立性证明引入了力迫法，如今力迫法成为一项强有力的技术，不计其数的数学家们运用这一方法构造模型，检验给定的假设可否与不同的公理系统协调。

外部链接

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