拉格朗日定理 (群論)：修订间差异

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2024年5月23日 (四) 04:53的最新版本

拉格朗日定理是群論中一個重要的結果，描述了一個群和它的子群的元素個數之間的關係。這個定理對有限群的結構給出了很多線索。

定理陳述

拉格朗日定理^[1] — 如果 $H$ 是群 $G$ 的子群^{[註 1]}，那麼 $|G|=|H|[G:H]$ 而如果 $G$ 是有限群，那麼這個定理可以簡化成—— $|H|$ 是 $|G|$ 的因數。

證明思路

定理的證明利用了陪集的以下性質：

一個子群的所有陪集在集合意義下有相同的大小^{[註 2]}（ Cardinality ）^[2]。
一個子群的所有陪集分割^{[註 3]}了整個群^[3]。
根據集合的特性， $G$ 的大小可以寫成是陪集的大小（ $|H|$ ）乘上^{[註 4]}陪集的數量（ $[G:H]$ ）。

推論

由拉格朗日定理可立即得到——有限群 $G$ 中每個元素的階（ Order ）都會整除群 $G$ 的階（考慮由這個元素生成的循環群）。
如果 $|G|$ 是質數，那麽 $G$ 同構於質數階的循環群 $C_{|G|}$ （因為質數沒有 $1$ 和自身以外的因數）^[4]。
費馬小定理是拉格朗日定理的一個簡單推論^[5]。

逆命題

拉格朗日定理的逆命題並一般來說不成立。 $|G|$ 的因數可能不是任何子群的階。例如交錯群 $A_{4}$ 的階是 $12$ ，但它沒有任何階是 $6$ 子群^[6]。然而柯西定理以及它的推廣——西羅定理——則表明：具有特定形式的因數確實是某個子群的階；而如果 $G$ 是可解群的話，則西羅定理還可以進一步推廣成霍爾定理（英语：Hall subgroup#Hall's theorem）。

參見

註解

^ 沒有假設是有限群
^ 或稱——勢
^ 意思是每個群元素都位在剛好一個（ exactly one ）陪集之中
^ cardinality 意義下的乘法。在有限的情況下就和是普通意義的整數乘法

引用

^ Hungerford 1974，第39頁，Corollary 4.6.
^ Hungerford 1974，第38頁，Theorem 4.2.
^ Hungerford 1974，第38頁，Corollary 4.3.
^ Gallian 2012，第149頁，Corollary 3.
^ Gallian 2012，第149頁，Corollary 5.
^ Gallian 2012，第149頁，Example 5.

參考文獻

Gallian, Joseph. Contemporary Abstract Algebra 第八版. Cengage Learning. 2012. ISBN 978-1133599708 （英语）.
Hungerford, Thomas William. Algebra 第一版. Springer. 1974. ISBN 978-1-4612-6101-8 （英语）.

[1] 沒有假設是有限群

[3] 或稱——勢

[5] 意思是每個群元素都位在剛好一個（ exactly one ）陪集之中

[7] rdinality 意義下的乘法。在有限的情況下就和是普通意義的整數乘法

[FOOTNOTEHungerford197439Corollary_4.6-2] Hungerford 1974，第39頁，Corollary 4.6.

[FOOTNOTEHungerford197438Theorem_4.2-4] Hungerford 1974，第38頁，Theorem 4.2.

[FOOTNOTEHungerford197438Corollary_4.3-6] Hungerford 1974，第38頁，Corollary 4.3.

[FOOTNOTEGallian2012149Corollary_3-8] Gallian 2012，第149頁，Corollary 3.

[FOOTNOTEGallian2012149Corollary_5-9] Gallian 2012，第149頁，Corollary 5.

[FOOTNOTEGallian2012149Example_5-10] Gallian 2012，第149頁，Example 5.

[1]

[註 1]

[註 2]

[2]

[註 3]

[3]

[註 4]

[4]

[5]

[6]

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-叙述：设H是有限[[群]]G的子群，则H的[[階 (群論)|阶]]整除G的阶。
+# 由拉格朗日定理可立即得到——有限群 <math>G</math> 中每個元素的[[階 (群論)|階]]（ Order ）都會[[除法|整除]]群 <math>G</math> 的[[階 (群論)|階]]（考慮由這個元素生成的[[循環群]]）。
-定理的证明利用了左[[陪集]]的性质，令H是群G的子群。可知H在G中的每个左陪集都是一个[[等价类]]（证明见下）。将G作左陪集分解，由于每个等价类的元素个数都相等，都等于H的元素个数（H是H关于e的左陪集），因此H的阶（元素个数）整除G的阶，商是H在G中的左陪集个数，叫做H对G的指数，记作[G:H]。
+# 如果 <math>|G|</math> 是[[质数|質數]]，那麽 <math>G</math> 同構於質數[[階 (群論)|階]]的[[循環群]] <math>C_{|G|}</math> （因為質數沒有 <math>1</math> 和自身以外的[[因數]]）{{Sfn|Gallian|2012|p=149|loc=Corollary 3}}。
+# [[費馬小定理]]是拉格朗日定理的一個簡單推論{{Sfn|Gallian|2012|p=149|loc=Corollary 5}}。
+==逆命題==
-===陪集的等价关系===
+拉格朗日定理的逆命題並一般來說不成立。 <math>|G|</math> 的因數可能不是任何子群的階。例如[[交错群|交錯群]] <math>A_{4}</math> 的[[階 (群論)|階]]是 <math>12</math> ，但它沒有任何階是 <math>6</math> [[子群]]{{Sfn|Gallian|2012|p=149|loc=Example 5}}。然而[[柯西定理 (群論)|柯西定理]]以及它的推廣——[[西羅定理]]——則表明：具有特定形式的因數確實是某個子群的階；而如果 <math>G</math> 是[[可解群]]的話，則[[西羅定理]]還可以進一步推廣成{{link-en|霍爾定理|Hall subgroup#Hall's theorem}}。
-定义[[二元关系]]<math>\sim</math>：<math>a \sim b \Longleftrightarrow  a^{-1}b \in H</math>。下面证明它是一个[[等价关系]]。
+== 參見 ==
-# 自反性：<math>\forall x \in G,~~x^{-1}x = e \in H ~~ \implies ~~ x \sim x</math>
-# 对称性：<math>\forall x, y \in G,~~ x \sim y  \implies  x^{-1}y \in H </math>，因此<math> y^{-1}x = (x^{-1}y )^{-1} \in H </math>，因此<math> y \sim x \cdot  </math>
-# 传递性：<math>\forall x, y, z \in A, ~~~( x \sim y ~~ \wedge ~~ y \sim z) ~~\implies~~ x^{-1}y \in H \wedge  y^{-1}z \in H </math>，因此<math> x^{-1}z = x^{-1}y \cdot y^{-1}z \in H </math>，因此<math>x \sim z \cdot </math>。
+* [[群]]
-可以证明，<math>(a^{-1}b \in H) \Longleftrightarrow(aH \cap bH \ne \varnothing) \Longleftrightarrow(aH = bH)</math>。因此左陪集是由等价关系<math>\sim</math>确定的等价类。
+* [[陪集]]
+* [[費馬小定理]]
+* [[西羅定理]]
+* [[有限群]]
+* [[階 (群論)]]
+== 註解 ==
-拉格朗日定理说明，如果[[商群]]''G'' / ''H''存在，那么它的阶等于H对G的指数[G:H]。
+{{NoteFoot}}
-<math>{\displaystyle \left|G\right|=\left[G:H\right]\cdot \left|H\right|{\mbox{,}}}</math>
+== 引用 ==
-上述写法在G为无限群时也成立。
+{{reflist}}
-===推论===
+== 參考文獻 ==
-. 由拉格朗日定理可立即得到：由有限群G中一个元素a的阶数整除群G的阶（考虑由a生成的循环群）。
+* {{cite book
-. 如果<math>n</math>是质数，那么所有阶数为<math>n</math>的群都同构（因为素数只有1和它本身为约数）。
+| last = Gallian | first = Joseph | ref = harv
+| title = ''Contemporary Abstract Algebra'' | year = 2012
-. [[费马小定理]]是拉格朗日定理的一个简单推论。
+| publisher = Cengage Learning | isbn = 978-1133599708 | language = en | url = https://doi.org/10.1201/9781003142331
+| edition = 第八版 | authorlink = :en:Joseph Gallian
-===逆命题===
+}}
+* {{cite book
-拉格朗日定理的逆命题并不成立。给定一个有限群''G''和一个整除''G''的阶的整数''d''，''G''并不一定有阶数为
+| last = Hungerford | first = Thomas William | ref = harv
-''d''的子群。最简单的例子是4次交替群''A''<sub>4</sub>，它的阶是12，但对于12的因数6，''A''<sub>4</sub>没有6阶的子群。对于这样的子群的存在性，[[柯西定理 (群论)|柯西定理]]和[[西洛定理]]给出了一个部分的回答。
+| title = ''Algebra''| year = 1974
+| publisher = Springer | isbn = 978-1-4612-6101-8 | language = en | url = https://doi.org/10.1007/978-1-4612-6101-8
-== 参见 ==
+| edition = 第一版 | authorlink = :en:Thomas W. Hungerford
+}}
-* [[群]]
-* [[正规子群]]
-* [[西洛定理]]
 {{約瑟夫·拉格朗日}}
 {{ModernAlgebra}}
-[[Category:群论|L]]
+[[Category:群論|L]]
-[[Category:数学定理|L]]
+[[Category:數學定理|L]]
 [[Category:有限群]]