频率 (统计学)：修订间差异

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2024年7月4日 (四) 03:48的最新版本

统计学裡，一事件 $i$ 的频率，可以表示為 $f_{i}$ ，是在實驗中觀測到事件 $i$ 的次數与总实验次数的比值^[1]。例如在擲骰子100次的隨機實驗中，有16次擲出6點，則在該實驗中，「擲出6點」事件的頻率為0.16。

事件 $i$ 的频数（或次數），即為實驗中觀測到事件 $i$ 的次數^[1]^[2]。

實務上，常會將各事件的頻率用圖表或是表格方式表示。

種類

累計頻率（cumulative frequency）是事件經排序後，在特定點以下之事件的頻率總和。^[3]。

可以將所有事件的頻率 $f_{i}$ 繪出，即為頻率分布（frequency distribution）。

頻率分佈

美國2000年通勤所需時間的直方图

条形图，其中以國家為分类变量

水平3D條形圖

世界各國人口分佈的圓餅圖

各種描繪頻率分佈的方法

頻率分佈（frequency distribution）可以呈現一個分為各互斥分組資料的情形，以及各組的數量。這是呈現未組織資料（例如選舉結果、某區域的的人口收入、畢業生助學貸款金額）的方式。呈現頻率分佈的圖表有直方图、条形图、折線圖及圓餅圖。頻率分佈可以用在量化和質化的資料。

建構頻率分佈

決定分組組數。若統計的是量化的資料，需要決定分組的組數。組數太多或是太少會無法呈現資料的特性，也有可能很難依該組數來進行分組和分析。理想的分組組數可以參考： ${\text{number of classes}}=C=1+3.3\log n$ （log是以10為基底），或是依直方圖的「方根公式」 $C={\sqrt {n}}$ ，其中n是資料的總數（若是像人口資料的統計，用後者會分太多組）。不過這些公式只是作為參，還是需要依實際情形作調整。
用資料最大值和最小值計算資料全距（全距=最大值 – 最小值）。全距會用來決定每一組的寬度。
決定每一組的寬度，以h來表示，公式為 $h={\frac {\text{range}}{\text{number of classes}}}$ （假設每一組的寬度都相同）。

一般來說每一組的寬度會相同。所有的組總和需要從數據中的最小值到最大值都包括在內。在頻率分佈上一般會傾向使用相同的組寬，不過有些時候使用不同的組寬（例如使用對數區問），才能完整的看到數據的資訊，避免有許多區間沒有資料，或是只有極少量資料的情形^[4]。

決定第一組的下限。一般會小於或等於最小值。
每觀測一個資料，就在其對應的分組加上一個記號，直到所有的資料都记錄完為止。
依需求計算頻率、相對頻率、累計頻率等資訊。

以下是一些常用來呈現頻率分佈的圖表^[5]：

直方圖

直方圖是用相鄰的長方形呈現頻率分佈情形的圖表，每一個長方形對應某一區間內的事件，其長方形的高度會對應此區間內的頻率密度（頻率除以區間寬度），因此長方形面積即對應其頻率。直方圖的總面積即為資料的筆數。也可以用直方圖顯示标准化後的相對頻率，可以呈現各分類下的比例，總面積對應1。一般來說會將分類劃分為數個連續不重疊的區間，各區間多半是等寬度的^[6]。繪圖時會將直方圖的各長方形繪成是相鄰的，以表示其原始變數的連續性^[7]。

条形图

条形图（bar chart、bar graph）是用長方形的長度表示變量的統計圖表。長方形長條可以水平放置，也可以垂直放置。

頻率分佈表

頻率分佈表是用表格表示抽樣中一個或是多個變數的情形。表格的每一橫行是某個特殊分組或是區間出現的頻率或是次數，這個表可以總結抽樣中的統計分佈。

以下是一個單變數的頻率表，會列出問卷每一種回應的頻率。

排名	同意程度	頻数	频率
1	強烈同意	22	0.216
2	有些同意	30	0.294
3	不確定	20	0.196
4	有些不同意	15	0.147
5	強烈不同意	15	0.147

以下是班上學生的身高的頻率表

身高範圍	學生人數	累計數量
小於 5.0 英尺	25	25
5.0-5.5 英尺	35	60
5.5-6.0 英尺	20	80
6.0-6.5 英尺	20	100

聯合頻率分佈

詮釋

在頻率論（英语：Frequentist probability）（Frequentist probability）詮釋的概率下，會假設隨著樣本數量的一直增加，特定事件出現的比率最終會接近一個定值，稱為有限相對頻率（limiting relative frequency）^[8]^[9]。

此一詮釋和貝氏機率的結論相反。頻率學派（frequentist）一詞最早是由Maurice Kendall（英语：Maurice Kendall）在1949年開始使用，和Bayesian相對（Maurice稱為是非頻率學派，non-frequentists）^[10]^[11]。他觀察到

3....我們可以大致區分兩種主要的態度。一種將概率視為是「理性信念的程度」，或是其他類似的概念...另一種將概率定義成某事件發生的頻率，或是在整體中的相對比例(p. 101)

...

12. 可能會有人認為，頻率學派和非頻率學派（若我這樣稱呼那些人的話）的差異主要是因為個自聲稱涵蓋領域的不同(p. 104)

...

我斷言不是這樣的 ... 我認為，頻率學派和非頻率學派本質上的差異是，前者為了避免任何觀點問題，用客觀的特性（可能是真的，也可能是假想的）來定義概率，而後者就不然

應用

處理和操作表格化的事件頻率資訊，比處理原始資料會簡單多了。有簡單的演算法可以根據表格計算中位數、平均、標準差等。

假說檢定可以用來評估二個頻率分佈的差異和類似性。評估包括量測集中趋势，像是平均数及中位數，也會評估离散程度，像是標準差和方差。

若頻率分佈的平均和中位數有顯著差異，會稱為頻率分佈具有偏度，另一種說法則是非對稱。頻率分佈的峰度是量測在頻率分佈兩側的量在總量中的比例。若其分佈比常態分佈要分散，則稱為高狹峰（leptokurtic），反之，則為低狹峰（platykurtic）。

字母频率分佈可以用在频率分析上，用以破解密碼，也可以用來比較不同語言之間（例如希臘文、拉丁文）的字母相對頻率。

參考資料

^ ^1.0 ^1.1 茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程 [M]. 3版．北京：高等教育出版社, 2019 (2022): 13-14. 978-7-04-051148-2.
^ 频数 [DB/OL] [2024] // 陈至立．辞海. 7版网络版．上海：上海辞书出版社, 2020.
^ Kenney, J. F.; Keeping, E. S. Mathematics of Statistics, Part 1 3rd. Princeton, NJ: Van Nostrand Reinhold. 1962: 17–19.
^ Manikandan, S. Frequency distribution. Journal of Pharmacology & Pharmacotherapeutics. 1 January 2011, 2 (1): 54–55. ISSN 0976-500X. PMC 3117575 . PMID 21701652. doi:10.4103/0976-500X.77120 .
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^ Howitt, D. and Cramer, D. (2008) Statistics in Psychology. Prentice Hall
^ Charles Stangor (2011) "Research Methods For The Behavioral Sciences". Wadsworth, Cengage Learning. ISBN 9780840031976.
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^ The Frequency theory Chapter 5; discussed in Donald Gilles, Philosophical theories of probability (2000), Psychology Press. ISBN 9780415182751 , p. 88.
^ Earliest Known Uses of Some of the Words of Probability & Statistics
^ Kendall, Maurice George. On the Reconciliation of Theories of Probability. Biometrika (Biometrika Trust). 1949, 36 (1/2): 101–116. JSTOR 2332534. doi:10.1093/biomet/36.1-2.101.

[概统-1] 1.0 ^1.1 茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程 [M]. 3版．北京：高等教育出版社, 2019 (2022): 13-14. 978-7-04-051148-2.

[辞海-2] 频数 [DB/OL] [2024] // 陈至立．辞海. 7版网络版．上海：上海辞书出版社, 2020.

[Kenney-3] Kenney, J. F.; Keeping, E. S. Mathematics of Statistics, Part 1 3rd. Princeton, NJ: Van Nostrand Reinhold. 1962: 17–19.

[4] Manikandan, S. Frequency distribution. Journal of Pharmacology & Pharmacotherapeutics. 1 January 2011, 2 (1): 54–55. ISSN 0976-500X. PMC 3117575 . PMID 21701652. doi:10.4103/0976-500X.77120 .

[5] Carlson, K. and Winquist, J. (2014) An Introduction to Statistics. SAGE Publications, Inc. Chapter 1: Introduction to Statistics and Frequency Distributions

[6] Howitt, D. and Cramer, D. (2008) Statistics in Psychology. Prentice Hall

[7] Charles Stangor (2011) "Research Methods For The Behavioral Sciences". Wadsworth, Cengage Learning. ISBN 9780840031976.

[Mises-8] von Mises, Richard (1939) Probability, Statistics, and Truth (in German) (English translation, 1981: Dover Publications; 2 Revised edition. ISBN 0486242145) (p.14)

[Gilles-9] The Frequency theory Chapter 5; discussed in Donald Gilles, Philosophical theories of probability (2000), Psychology Press. ISBN 9780415182751 , p. 88.

[10] Earliest Known Uses of Some of the Words of Probability & Statistics

[11] Kendall, Maurice George. On the Reconciliation of Theories of Probability. Biometrika (Biometrika Trust). 1949, 36 (1/2): 101–116. JSTOR 2332534. doi:10.1093/biomet/36.1-2.101.

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+{{about|统计學中的頻率|物理學裡的意義|频率 (物理学)}}
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 實務上，常會將各事件的頻率用圖表或是表格方式表示。
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+'''頻率分佈'''（frequency distribution）可以呈現一個分為各互斥分組資料的情形，以及各組的數量。這是呈現未組織資料（例如選舉結果、某區域的的人口收入、畢業生助學貸款金額）的方式。呈現頻率分佈的圖表有[[直方图]]、[[条形图]]、[[折線圖]]及[[圓餅圖]]。頻率分佈可以用在量化和質化的資料。
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+一般來說每一組的寬度會相同。所有的組總和需要從數據中的最小值到最大值都包括在內。在頻率分佈上一般會傾向使用相同的組寬，不過有些時候使用不同的組寬（例如使用對數區問），才能完整的看到數據的資訊，避免有許多區間沒有資料，或是只有極少量資料的情形<ref>{{cite journal |last1=Manikandan |first1=S |date=1 January 2011 |title=Frequency distribution |journal=Journal of Pharmacology & Pharmacotherapeutics |volume=2 |issue=1 |pages=54–55 |doi=10.4103/0976-500X.77120 |issn=0976-500X |pmc=3117575 |pmid=21701652 |doi-access=free }}</ref>。
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+==詮釋==
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+此一詮釋和[[貝氏機率]]的結論相反。頻率學派（frequentist）一詞最早是由{{le|Maurice Kendall|Maurice Kendall}}在1949年開始使用，和[[貝氏機率|Bayesian]]相對（Maurice稱為是非頻率學派，non-frequentists）<ref>[http://www.leidenuniv.nl/fsw/verduin/stathist/1stword.htm Earliest Known Uses of Some of the Words of Probability & Statistics]</ref><ref>{{cite journal
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+:3....我們可以大致區分兩種主要的態度。一種將概率視為是「理性信念的程度」，或是其他類似的概念...另一種將概率定義成某事件發生的頻率，或是在整體中的相對比例(p.&thinsp;101)
+:...
+:12. 可能會有人認為，頻率學派和非頻率學派（若我這樣稱呼那些人的話）的差異主要是因為個自聲稱涵蓋領域的不同(p.&thinsp;104)
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+:我斷言不是這樣的 ... 我認為，頻率學派和非頻率學派本質上的差異是，前者為了避免任何觀點問題，用客觀的特性（可能是真的，也可能是假想的）來定義概率，而後者就不然
+:
 == 應用 ==
-處理和操作以表格化的事件頻率資訊，比處理原始資料會簡單多了。有簡單的演算法可以根據表格計算中位數、平均、標準差等。
+處理和操作表格化的事件頻率資訊，比處理原始資料會簡單多了。有簡單的演算法可以根據表格計算中位數、平均、標準差等。
 [[假說檢定]]可以用來評估二個頻率分佈的差異和類似性。評估包括量測[[集中趋势]]，像是[[平均数]]及[[中位數]]，也會評估[[离散程度]]，像是[[標準差]]和[[方差]]。
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 [[字母频率]]分佈可以用在[[频率分析]]上，用以破解[[密碼]]，也可以用來比較不同語言之間（例如希臘文、拉丁文）的字母相對頻率。
+==相關條目==
+{{Portal|数学}}
+* {{le|計數資料|Count data}}
+* [[列联表]]
+* [[累积分布函数]]
+* {{le|累積頻率分析|Cumulative frequency analysis}}
+* [[经验分布函数]]
+* [[大數法則]]
+* [[多重集]]
+* [[機率密度函數]]
+* {{le|頻率詮釋|Probability interpretations}}
+* {{le|統計規則性|Statistical regularity}}
+<!--* [[Word frequency]]-->
 ==參考資料==
 {{reflist}}
 {{統計學}}
-{{統計學小作品}}
 [[分類:統計學]]