表面張力波：修订间差异
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'''表面張力波'''（{{lang-en|Capillary wave}}）是延著[[液體]]{{link-en|相邊界|phase boundary}}行進的[[波]]，其[[動力學]]及相速度是由[[表面张力]]的效應所決定，在水面上的表面張力波常稱為'''漣漪'''。 |
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表面張力波是自然界常見的現象，其波長多半在數公分以內，而[[相速度]]約0.2-0.3公尺/秒。 |
表面張力波是自然界常見的現象，其波長多半在數公分以內，而[[相速度]]約0.2-0.3公尺/秒。 |
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若液體表面的波是受到表面张力、重力及液體[[慣性]]的影響，其波長會比較長，稱為重力-表面張力波（gravity–capillary waves）。一般的重力波波長會更長。 |
若液體表面的波是受到表面张力、[[重力]]及液體[[慣性]]的影響，其波長會比較長，稱為重力-表面張力波（gravity–capillary waves）。一般的重力波波長會更長。 |
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漣漪可能是在開放水體中由微風所產生，在開放海域中，由風產生的小漣漪可能會造成大的[[波濤]]。 |
漣漪可能是在開放水體中由微風所產生，在開放海域中，由風產生的小漣漪可能會造成大的[[波濤]]。 |
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==色散关系== |
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[[色散关系]]說明在波當中[[波长]]和[[頻率 (物理學)|頻率]]之間的關係。色散关系會出現在只受表面張力影響的純表面張力波中，也會出現在由重力和表面張力影響的重力-表面張力波中。 |
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===一般的表面張力波=== |
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\omega^2=\frac{\sigma}{\rho+\rho'}\, |k|^3,</math> |
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其中''ω''是[[角频率]]，''σ''是[[表面张力]]，''ρ''是較重流體的[[密度]]，''ρ'''是較輕流體的密度，''k''是[[波數]]。其[[波长]]為 |
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===重力-表面張力波=== |
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[[File:Dispersion capillary.svg|thumb|right|在深水表面的重力-表面張力波（上方的密度為0，''ρ′ = 0''）。相速度及群速度除以<math>\scriptstyle \sqrt[4]{g\sigma/\rho}</math>後，會是相對波長倒數的函數<br>{{•}}藍線(A)：相速度，紅線(B)：群速度<br>{{•}}實線：重力-表面張力波色散关系。<br>{{•}}點線：深水重力波的色散關係<br>{{•}}虛點線：實際深水重力波的色散關係]] |
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一般而言，水也會受到重力的影響，因此稱為重力-表面張力波。若是無限深度的流體，其色散關係如下<ref name=Lamb>Lamb (1994), §267, page 458–460.</ref><ref>Dingemans (1997), Section 2.1.1, p. 45.<br>Phillips (1977), Section 3.2, p. 37.</ref>： |
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\omega^2=|k|\left( \frac{\rho-\rho'}{\rho+\rho'}g+\frac{\sigma}{\rho+\rho'}k^2\right), |
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其中''g''為[[標準重力]]，''ρ''和''ρ'''分別是二種流體的[[密度]]（''ρ > ρ‘''）。第一項的<math>(\rho-\rho')/(\rho+\rho')</math>因子是[[阿特伍德数]]。 |
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====重力波的範圍==== |
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若波長較大（波數''k = 2π/λ''較小），主要會受第一項，[[重力波 (流體力學)|重力波]]的影響。 |
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若到極限時，波的[[群速度]]會是[[相速度]]的一半。若跟隨著某一個波群中的某一個波峰前進，會看到波在後面出現，成長，最後會在波群的前面消失。 |
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====表面張力波範圍==== |
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若波長較小（波數較大，例如在水-空氣介面中，波數到達2 mm)，是表面張力波，情形恰好相反。跟隨著某一個波群中的某一個波峰前進，會看到波在前面出現，成長，最後會在波群的後面消失。在極限時，群速度會是相速度的1.5倍。 |
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====相速度的最小值==== |
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在上述兩種極端條件之間，存在一個點，表面張力波產生的色散會和重力產生的色散相抵消。在該波長下，群速會等於相速，沒有色散。在該波長下，重力-表面張力波的相速有極小值。若波長遠大於臨界波長''λ<sub>m</sub>''的波主要會受到表面張力影響，波長遠大於該值的波主要會受到重力影響。波長和最小相速度''c<sub>m</sub>''的關係如下<ref name=Lamb/>： |
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\quad \text{and} \quad |
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c_m = \sqrt{ \frac{2 \sqrt{ (\rho - \rho') g \sigma }}{\rho+\rho'} }. |
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針對[[空氣]]–[[水]]的界面，''λ<sub>m</sub>''約為{{convert|1.7|cm|in|abbr=on}}，''c<sub>m</sub>''為{{convert|0.23|m/s|ft/s|abbr=on}}.<ref name=Lamb/>。 |
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若小石頭或是水滴落入液面，漣漪會以同心圓往外擴散，最後水面會靜止。漣漪的同心圓會出現{{link-en|焦散|caustic (optics)}}，對應最小相速<ref>{{cite book |last=Falkovich |first=G. |title=Fluid Mechanics, a short course for physicists |url=https://archive.org/details/fluidmechanicssh0000falk |publisher=Cambridge University Press |year=2011 |isbn=978-1-107-00575-4 |nopp=yes |pages=Section 3.1 and Exercise 3.3}}</ref> |
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====原理==== |
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[[理查德·費曼]]曾提過：「[水波]是每一個人都可以看到的現象，也在基礎教育中用來做為波的例子[......]，但也是最壞的例子，[......]波可能會出現的複雜問題，在水波中都可可能出現。」<ref>[[理查德·費曼]], R.B. Leighton, and M. Sands (1963). '[[费曼物理学讲义]].'' Addison-Wesley. Volume I, Chapter 51-4.</ref>。在重力-表面張力波的色散關係中，也會有類似的情形<ref>在Safran (1994)中有更細節的敘述 for a more detailed description.</ref>。 |
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<!-- Therefore, first the assumptions involved are pointed out. << ? -->一般會假設重力-表面張力波的能量來源有三個：重力、[[表面张力]]及[[流體動力學]]。前兩個是勢能。在有關重力的部份，一般分析會假設流體的密度是定值（不可壓縮性），也會假設重力是定值（水波的高低還不足以造成重力顯著變化的程度）。有關表面張力，會假設表面的高度變化很小，針對一般水波，上述二個假設都可以成立。 |
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能量來源的第三個是流體的[[动能]]，這部份最複雜，需要用[[流體動力學]]的技巧。此處會再假設不可壓縮性（若波的速度遠小於介質中聲速時成立），流場本身是[[保守向量场]]，因此流[[位流]]。 |
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==相關條目== |
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* {{link-en|兩相流|Two-phase flow}} |
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==腳註== |
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*{{cite book | title=Water wave propagation over uneven bottoms | first=M. W. |last=Dingemans | year=1997 | series=Advanced Series on Ocean Engineering | volume=13 | publisher=World Scientific, Singapore | pages=2 Parts, 967 pages | isbn=981-02-0427-2 }} |
*{{cite book | title=Water wave propagation over uneven bottoms | first=M. W. |last=Dingemans | year=1997 | series=Advanced Series on Ocean Engineering | volume=13 | publisher=World Scientific, Singapore | pages=2 Parts, 967 pages | isbn=981-02-0427-2 }} |
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*{{cite book | first=Samuel | last=Safran | title=Statistical thermodynamics of surfaces, interfaces, and membranes | publisher=Addison-Wesley | year=1994 }} |
*{{cite book | first=Samuel | last=Safran | title=Statistical thermodynamics of surfaces, interfaces, and membranes | publisher=Addison-Wesley | year=1994 }} |
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*{{Cite journal | first1=N. B. | last1=Tufillaro | first2=R. | last2=Ramshankar | first3=J. P. | last3=Gollub | title=Order-disorder transition in capillary ripples | journal=Physical Review Letters | volume=62 | issue=4 | pages=422–425 | year=1989 | doi=10.1103/PhysRevLett.62.422 | pmid=10040229 | bibcode=1989PhRvL..62..422T| url=http://scholarship.haverford.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1062&context=physics_facpubs }} |
*{{Cite journal | first1=N. B. | last1=Tufillaro | first2=R. | last2=Ramshankar | first3=J. P. | last3=Gollub | title=Order-disorder transition in capillary ripples | journal=Physical Review Letters | volume=62 | issue=4 | pages=422–425 | year=1989 | doi=10.1103/PhysRevLett.62.422 | pmid=10040229 | bibcode=1989PhRvL..62..422T | url=http://scholarship.haverford.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1062&context=physics_facpubs | access-date=2019-11-26 | archive-date=2017-09-22 | archive-url=https://web.archive.org/web/20170922010432/http://scholarship.haverford.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1062&context=physics_facpubs | dead-url=no }} |
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==外部連結== |
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*[http://www.sklogwiki.org/SklogWiki/index.php/Capillary_waves Capillary waves entry at sklogwiki] |
*[http://www.sklogwiki.org/SklogWiki/index.php/Capillary_waves Capillary waves entry at sklogwiki] {{Wayback|url=http://www.sklogwiki.org/SklogWiki/index.php/Capillary_waves |date=20210208093218 }} |
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2024年7月4日 (四) 06:02的最新版本
表面張力波（英語：Capillary wave）是延著液體相邊界行進的波，其動力學及相速度是由表面张力的效應所決定，在水面上的表面張力波常稱為漣漪。
表面張力波是自然界常見的現象，其波長多半在數公分以內，而相速度約0.2-0.3公尺/秒。
若液體表面的波是受到表面张力、重力及液體慣性的影響，其波長會比較長，稱為重力-表面張力波（gravity–capillary waves）。一般的重力波波長會更長。
漣漪可能是在開放水體中由微風所產生，在開放海域中，由風產生的小漣漪可能會造成大的波濤。
色散关系
[编辑]色散关系說明在波當中波长和頻率之間的關係。色散关系會出現在只受表面張力影響的純表面張力波中，也會出現在由重力和表面張力影響的重力-表面張力波中。
一般的表面張力波
[编辑]在表面張力波中的色散关系是
其中ω是角频率，σ是表面张力，ρ是較重流體的密度，ρ'是較輕流體的密度，k是波數。其波长為 若在流體和真空中的邊界，其色散关系簡化為是
重力-表面張力波
[编辑]
![{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{4}]{g\sigma /\rho }}}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5fba378198fe7494e9310dfecd81b655747a78c)
· 藍線(A)：相速度，紅線(B)：群速度
· 實線：重力-表面張力波色散关系。
· 點線：深水重力波的色散關係
· 虛點線：實際深水重力波的色散關係
一般而言，水也會受到重力的影響，因此稱為重力-表面張力波。若是無限深度的流體，其色散關係如下[1][2]：
其中g為標準重力，ρ和ρ'分別是二種流體的密度（ρ > ρ‘）。第一項的因子是阿特伍德数。
重力波的範圍
[编辑]若波長較大（波數k = 2π/λ較小），主要會受第一項，重力波的影響。
若到極限時，波的群速度會是相速度的一半。若跟隨著某一個波群中的某一個波峰前進，會看到波在後面出現，成長，最後會在波群的前面消失。
表面張力波範圍
[编辑]若波長較小（波數較大，例如在水-空氣介面中，波數到達2 mm)，是表面張力波，情形恰好相反。跟隨著某一個波群中的某一個波峰前進，會看到波在前面出現，成長，最後會在波群的後面消失。在極限時，群速度會是相速度的1.5倍。
相速度的最小值
[编辑]在上述兩種極端條件之間，存在一個點，表面張力波產生的色散會和重力產生的色散相抵消。在該波長下，群速會等於相速，沒有色散。在該波長下，重力-表面張力波的相速有極小值。若波長遠大於臨界波長λm的波主要會受到表面張力影響，波長遠大於該值的波主要會受到重力影響。波長和最小相速度cm的關係如下[1]：
針對空氣–水的界面，λm約為1.7 cm（0.67英寸），cm為0.23 m/s（0.75 ft/s）.[1]。
若小石頭或是水滴落入液面，漣漪會以同心圓往外擴散，最後水面會靜止。漣漪的同心圓會出現焦散，對應最小相速[3]
原理
[编辑]理查德·費曼曾提過：「[水波]是每一個人都可以看到的現象，也在基礎教育中用來做為波的例子[......]，但也是最壞的例子，[......]波可能會出現的複雜問題，在水波中都可可能出現。」[4]。在重力-表面張力波的色散關係中，也會有類似的情形[5]。
一般會假設重力-表面張力波的能量來源有三個：重力、表面张力及流體動力學。前兩個是勢能。在有關重力的部份，一般分析會假設流體的密度是定值（不可壓縮性），也會假設重力是定值（水波的高低還不足以造成重力顯著變化的程度）。有關表面張力，會假設表面的高度變化很小，針對一般水波，上述二個假設都可以成立。
能量來源的第三個是流體的动能，這部份最複雜，需要用流體動力學的技巧。此處會再假設不可壓縮性（若波的速度遠小於介質中聲速時成立），流場本身是保守向量场，因此流位流。
相關條目
[编辑]腳註
[编辑]- ^ 1.0 1.1 1.2 Lamb (1994), §267, page 458–460.
- ^ Dingemans (1997), Section 2.1.1, p. 45.
Phillips (1977), Section 3.2, p. 37. - ^ Falkovich, G. Fluid Mechanics, a short course for physicists. Cambridge University Press. 2011. Section 3.1 and Exercise 3.3. ISBN 978-1-107-00575-4.
- ^ 理查德·費曼, R.B. Leighton, and M. Sands (1963). '费曼物理学讲义. Addison-Wesley. Volume I, Chapter 51-4.
- ^ 在Safran (1994)中有更細節的敘述 for a more detailed description.
參考資料
[编辑]- Longuet-Higgins,M. S. The generation of capillary waves by steep gravity waves. Journal of Fluid Mechanics. 1963, 16 (1): 138–159. Bibcode:1963JFM....16..138L. ISSN 1469-7645. doi:10.1017/S0022112063000641.
- Lamb, H. Hydrodynamics 6th. Cambridge University Press. 1994. ISBN 978-0-521-45868-9.
- Phillips, O. M. The dynamics of the upper ocean 2nd. Cambridge University Press. 1977. ISBN 0-521-29801-6.
- Dingemans, M. W. Water wave propagation over uneven bottoms. Advanced Series on Ocean Engineering 13. World Scientific, Singapore. 1997: 2 Parts, 967 pages. ISBN 981-02-0427-2.
- Safran, Samuel. Statistical thermodynamics of surfaces, interfaces, and membranes. Addison-Wesley. 1994.
- Tufillaro, N. B.; Ramshankar, R.; Gollub, J. P. Order-disorder transition in capillary ripples. Physical Review Letters. 1989, 62 (4): 422–425 [2019-11-26]. Bibcode:1989PhRvL..62..422T. PMID 10040229. doi:10.1103/PhysRevLett.62.422. （原始内容存档于2017-09-22）.
