不连续点：修订间差异

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2024年7月18日 (四) 03:20的最新版本

不连续点，又称间断点，分段点（英語：Discontinuities），通常是在單變數實变函數的環境下討論。令 $E\subseteq \mathbb {R} ,~f:E\to \mathbb {R}$ ，且若 $c\in \mathbb {R}$ (不一定要在 $E$ 中)，若 $f$ 在 $c$ 不連續，則稱 $f$ 在那裡有個不連續點、 $c$ 為一個 $f$ 的不連續點。

分类

根据不同不连续点的性质，通常把不连续点分为两类：

第一类不连续点：
1. 可去不连续点：不连续点两侧函数的极限存在且相等。
2. 跳跃不连续点：不连续点两侧函数的极限存在，但不相等；
第二类不连续点：

不属于第一类不连续点的任何一种不连续点都属于第二类不连续点。第二类不连续点可以进一步分为无穷不连续点和震荡不连续点。

例子

1. 考虑以下函数：

f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-x&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}

点 $x_{0}=1$ 是可去不连续点。

2. 考虑以下函数：

f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}

点 $x_{0}=1$ 是跳跃不连续点。

3. 考虑以下函数：

f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\{\frac {0.1}{x-1}}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}

点 $x_{0}=1$ 是第二类不连续点，又称本性不连续点。

外部链接

Discontinuous. PlanetMath.
"Discontinuity" （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Ed Pegg, Jr., The Wolfram Demonstrations Project, 2007.
埃里克·韦斯坦因. Discontinuity. MathWorld.

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+{{about|实变函数的不连续点的分类|复变函数的奇点的分类|奇点_(数学)}}
 {{微积分学}}
+'''不连续点'''，又称'''间断点'''，'''分段点'''（{{lang-en|Discontinuities}}），通常是在單變數[[實变函數]]的環境下討論。令<math>E\subseteq \mathbb{R},~f:E\to\mathbb{R}</math>，且若<math>c\in\mathbb{R}</math>(不一定要在<math>E</math>中)，若<math>f</math>在<math>c</math>不連續，則稱<math>f</math>在那裡有個不連續點、<math>c</math>為一個<math>f</math>的不連續點。
-'''间断点'''是指：在非[[连续]]函数y=f(x)中某点处x{{sub|o}}处有中断现象，那么，x{{sub|o}}就称为函数的间断点。
-==分类==
+== 分类 ==
-根据不同间断点的性质，通常把间断点分为两类：
+根据不同不连续点的性质，通常把不连续点分为两类：
-#第一类间断点：
+#第一类不连续点：
-##跳跃间断点： 间断点两侧函数的[[极限]]存在，但不[[相等]]；
+##可去不连续点：不连续点两侧函数的极限存在且相等 。
-##可去间断点： 间断点两侧函数的极限存在且相等。
+##跳跃不连续点：不连续点两侧函数的[[函數極限|极限]]存在，但不[[相等]]；
-#第二类间断点：
+#第二类不连续点：
-:不属于第一类间断点的任何一种间断点都属于第二类间断点。
+:不属于第一类不连续点的任何一种不连续点都属于第二类不连续点。第二类不连续点可以进一步分为无穷不连续点和震荡不连续点。
+== 例子 ==
-[[Category:函数|J]]
+[[File:Discontinuity_removable.eps.png|thumb|right|可去不连续点]]
+. 考虑以下函数：
+:<math>f(x)=\begin{cases}x^2 & \mbox{ for } x< 1 \\ 0 & \mbox { for } x=1 \\ 2-x&  \mbox{ for }  x>1\end{cases}</math>
+点<math>x_0=1</math>是可去不连续点。
+[[File:Discontinuity_jump.eps.png|thumb|right|跳跃不连续点]]
+. 考虑以下函数：
+:<math>f(x)=\begin{cases}x^2 & \mbox{ for } x< 1 \\ 0 & \mbox { for } x=1 \\ 2-(x-1)^2& \mbox{ for } x>1\end{cases}</math>
+点<math>x_0=1</math>是跳跃不连续点。
+[[File:Discontinuity essential.svg|thumb|right|第二类不连续点]]
+. 考虑以下函数：
+:<math>f(x)=\begin{cases}\sin\frac{5}{x-1} & \mbox{ for } x< 1 \\ 0 & \mbox { for } x=1 \\ \frac{0.1}{x-1}& \mbox{ for } x>1\end{cases}</math>
+点<math>x_0=1</math>是第二类不连续点，又称本性不连续点。
+== 外部链接 ==
+* {{Planetmath reference|title=Discontinuous|id=4447|urlname=discontinuous}}
+* [http://demonstrations.wolfram.com/Discontinuity/ "Discontinuity"] {{Wayback|url=http://demonstrations.wolfram.com/Discontinuity/ |date=20220108040132 }} by Ed Pegg, Jr., The Wolfram Demonstrations Project, 2007.
+* {{MathWorld | urlname=Discontinuity | title=Discontinuity}}
+[[Category:连续映射]]
+[[Category:数学分析]]