唯一分解整環：修订间差异

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2024年9月29日 (日) 22:07的最新版本

在數學中，唯一分解整环（英語：Unique factorization domain，縮寫：UFD）是一個整環，其中元素都可以表示成有限個不可約元素（或素元）之積，並且表示法在允許重排與相伴（associative）之下唯一，相當於滿足算術基本定理的整環。

定義

一個整環 $R$ 被稱為唯一分解整环若且唯若 $R$ 中的每個非零元素 $x$ 皆可表示為一個可逆元素和若干個不可約元素（可以是0個）的乘積：

x=up_{1}p_{2}\cdots p_{n}

其中 $u$ 是一個可逆元素， $p_{1},\cdots ,p_{n}$ 是不可約元素， $n$ 是非負整數。並且如果存在 $x$ 的另一種表示法此表法 $x=vq_{1}q_{2}\cdots q_{m}$ （ $v$ 是可逆元素， $q_{1},\cdots ,q_{m}$ 是不可約元素），則 $m=n$ ，且存在一個下標的重排 $\sigma \in S_{n}$ 與可逆元素 $w_{1},\cdots ,w_{n}$ 使得 $q_{i}=w_{i}p_{\sigma (i)}$ （ $i=1,\cdots ,n$ ），換句話說，存在 $\sigma \in S_{n}$ 使得 $q_{i}$ 和 $p_{\sigma (i)}$ 相伴。

例子

主理想整环，特別是歐幾里得整环。由此可知整數、高斯整數與艾森斯坦整數環都是唯一分解整环。
體也是唯一分解整环。
若 $R$ 為唯一分解整环，則多項式環 $R[X]$ 亦然。(高斯引理)

由此可知任意有限個變元的多項式環 $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ 也是唯一分解整环，但是一般來說 $R[X]$ 並不是主理想整环，除非 $R$ 是一個體。

複流形（例如 $\mathbb {C}$ ）上一點的局部環是唯一分解整环。
正則局部環皆為唯一分解整环。

以下給出幾個反例：

環 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ 並非唯一分解環，因為

(6)=(2)(3)=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})

令 $R$ 為任一交換環，則 $R[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)$ 非唯一分解整环；當 $R$ 為域時，這在幾何上對應到一個奇點。

性質

整數的一些概念可以推廣至唯一分解整环：

在任意整環中，素元必為不可約元；在唯一分解整环中，不可約元必為素元。
任意有限個元素有最大公因數與最小公倍數，它們在至多差一個可逆元的意義下唯一。

等價條件

一個諾特整環是唯一分解整环若且唯若每個高度為一的素理想都是主理想（即：由單個元素生成）。
一個整環是唯一分解整环若且唯若升鏈條件對主理想成立，而且任兩個元素有最小公倍數。
一個整環是唯一分解整环若且唯若其類群為平凡群。

文獻

I. N. Herstein, Topics in Algebra (1975), Wiley. ISBN 0-471-01090-1
H. Matsumura, Commutative algebra (1980), Benjamin-Cummings Pub Co. ISBN 0-8053-7026-9

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-{{NoteTA|G1=Math}}
+{{NoteTA
+|G1 = Math
+|1 = zh-cn:域; zh-tw:體;
+}}
-在[[數學]]中，'''唯一分解整环'''（{{lang|en|Unique factorization domain}}）是使得每個其中元素都能唯一表成[[素元]]之積的[[整環]]，也就是滿足[[算術基本定理]]的整環。唯一分解整环通常以[[英文]]縮寫 UFD 表示。
+{{redirect|UFD}}
+{{環論|交換}}
+在[[數學]]中，'''唯一分解整环'''（{{lang-en|Unique factorization domain}}，縮寫：'''UFD'''）是一個[[整環]]，其中元素都可以表示成有限個[[不可約元素]]（或[[素元]]）之積，並且表示法在允許重排與相伴（associative）之下唯一，相當於滿足[[算術基本定理]]的整環。
 == 定義 ==
-一個'''唯一分解整环'''乃是一[[整環]] <math>R</math>，使得其中每個非零[[可逆元|不可逆元]] <math>x</math> 皆可表為不可約元（或稱[[整環|既約元]]）的積：
+一個[[整環]]<math>R</math>被稱為'''唯一分解整环'''若且唯若<math>R</math>中的每個非零元素<math>x</math>皆可表示為一個[[可逆元素]]和若干個[[不可約元素]]（可以是0個）的乘積：
-: <math>x = p_1 \cdots p_n</math>
+: <math>x = u p_1 p_2 \cdots p_n</math>
-此表法在至多差一個[[可逆元]]的意義下唯一：若 <math>x = p_1 \cdots p_n = q_1 \cdots q_m</math>，其中 <math>p_i, q_j</math> 皆為不可約元，則 <math>m=n</math>，而且在重排下標後存在可逆元 <math>u_i \in R^\times</math> 使得 <math>p_i = u_i q_i</math>。
+其中<math>u</math>是一個[[可逆元素]]，<math>p_1, \cdots ,p_n</math>是[[不可約元素]]，<math>n</math>是非負整數。並且如果存在<math>x</math>的另一種表示法此表法<math>x = v q_1 q_2 \cdots q_m</math>（<math>v</math>是[[可逆元素]]，<math>q_1, \cdots ,q_m</math>是[[不可約元素]]），則<math>m=n</math>，且存在一個下標的重排<math>\sigma \in S_n</math>與[[可逆元素]]<math>w_1, \cdots ,w_n</math>使得<math>q_i = w_i p_{\sigma(i)}</math> （<math>i=1,\cdots,n</math>），換句話說，存在<math>\sigma \in S_n</math>使得<math>q_i</math>和<math>p_{\sigma(i)}</math>相伴。
-另一個方便的等價定義如下：一個唯一分解整环乃是一[[整環]] <math>R</math>，使得其中每個非零不可逆元皆可表成[[素元]]的積。
 == 例子 ==
 * [[主理想整环]]，特別是[[歐幾里得整环]]。由此可知[[整數]]、[[高斯整數]]與[[艾森斯坦整數]]環都是唯一分解整环。
-* [[域]]也是唯一分解整环。
+* [[體 (數學)|體]]也是唯一分解整环。
-* 若 <math>R</math> 為唯一分解整环，則[[多項式環]] <math>R[X]</math> 亦然。由此可知任意有限個變元的多項式環 <math>R[X_1, \ldots, X_n]</math> 也是唯一分解整环，但是它們一般來說並非主理想整环。
+* 若<math>R</math>為唯一分解整环，則[[多項式環]]<math>R[X]</math>亦然。(高斯引理)
+由此可知任意有限個變元的多項式環<math>R[X_1, \ldots, X_n]</math>也是唯一分解整环，但是一般來說<math>R[X]</math>並不是[[主理想整环]]，除非<math>R</math>是一個[[體 (數學)|體]]。
-* [[複流形]]（例如 <math>\mathbb{C}</math>）上一點的[[局部環]]是唯一分解整环。
+* [[複流形]]（例如<math>\mathbb{C}</math>）上一點的[[局部環]]是唯一分解整环。
 * [[正則局部環]]皆為唯一分解整环。
 以下給出幾個反例：
-* 環 <math>\Z[\sqrt{-5}]</math> 並非唯一分解環，因為
+* 環<math>\Z[\sqrt{-5}]</math>並非唯一分解環，因為
 : <math>(6)=(2)(3)=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})</math>
-* 令 <math>R</math> 為任一[[交換環]]，則 <math>R[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)</math> 非唯一分解整环；當 <math>R</math> 為域時，這在幾何上對應到一個奇點。
+* 令<math>R</math>為任一[[交換環]]，則<math>R[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)</math>非唯一分解整环；當<math>R</math>為域時，這在幾何上對應到一個奇點。
 == 性質 ==
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 * 一個[[諾特環|諾特]][[整環]]是唯一分解整环若且唯若每個[[高度 (環論)|高度]]為一的[[素理想]]都是主理想（即：由單個元素生成）。
 * 一個整環是唯一分解整环若且唯若升鏈條件對主理想成立，而且任兩個元素有[[最小公倍數]]。
-* 一個整環是唯一分解整环若且唯若其[[類群]]為平凡群。
+* 一個整環是唯一分解整环若且唯若其[[理想类群|類群]]為平凡群。
 == 文獻 ==