平方根:修订间差异
Timothyqiu(留言 | 贡献) 根据英文版补充历史信息,与原「符号的演变」一节合并为「历史」。 |
Dabao qian(留言 | 贡献) // Edit via Wikiplus 标签:Wikiplus |
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{{NoteTA |
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[[File:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|thumb|256px|right|(算术)平方根的數學表示式]] |
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|G1=Math |
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|1=zh-cn:数学对象;zh-tw:數學物件; |
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[[File:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|thumb|256px|right|算术平方根的數學表示式]] |
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在[[數學]]中,一個數<math>x</math>的'''平方根'''<math>y</math>指的是滿足<math>y^2 = x</math>的數,即[[平方]]結果等於<math>x</math>的數。例如,4和-4都是16的平方根,因为<math>4^2=(-4)^2=16</math>。 |
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任意非負[[實數]]<math>x</math>都有唯一的非負平方根,称为'''算术平方根'''或'''-{zh-cn:主平方根; zh-tw:算術平方根;}-'''({{lang-en|principal square root}}),記為<math>\sqrt x</math>,其中的符号<math>\sqrt{\quad}</math>称作[[根号]]。例如,9的算术平方根为{{Root|9}},记作 <math>\sqrt 9 = 3</math>,因为<math>3^2=3 \times 3 =9</math>并且3非负。被求平方根的数称作'''被开方数'''({{lang-en|radicand}}),是根号下的数字或者表达式,即例子中的数字9。 |
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在[[數學]]中,一個數<math>x</math>的'''平方根'''<math>y</math>指的是滿足<math>y^2 = x</math>的數,即[[平方]]結果等於<math>x</math>的數。例如,4和-4都是16的平方根,因为{{nowrap|1=4<sup>2</sup> = (−4)<sup>2</sup> = 16}}。 |
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任意非負[[實數]]都有唯一的非負平方根,称为'''算术平方根'''或'''主平方根'''({{lang-en|principal square root}}),記為<math>\sqrt x</math>,其中的符号√称作[[根号]]。例如,9的算术平方根为3,记作 <math>\sqrt 9 = 3</math>,因为 {{nowrap|1=3<sup>2</sup> = 3 • 3 = 9}} 并且3非负。被求平方根的数称作'''被开方数'''({{lang-en|radicand}}),是根号下的数字或者表达式,即例子中的数字9。 |
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[[正数]]<math>x</math>有兩個互为[[加法逆元|相反数]]的平方根:正数<math>\sqrt x</math>与负数<math>-\sqrt x</math>,可以将两者一起记为<math>\pm \sqrt x</math>。 |
[[正数]]<math>x</math>有兩個互为[[加法逆元|相反数]]的平方根:正数<math>\sqrt x</math>与负数<math>-\sqrt x</math>,可以将两者一起记为<math>\pm \sqrt x</math>。 |
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[[負數]]的平方根在[[複數 (數學)| |
[[負數]]的平方根在[[複數 (數學)|複數系]]中有定義。而實際上,對任何定義了開平方運算的[[數學物件]]都可考慮其“平方根”(例如[[矩陣的平方根]])。 |
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*在MicroSoft的試算表軟體Excel與大部分程式語言中以 "sqrt()"表示求主平方根。 |
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== 历史 == |
== 历史 == |
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耶鲁大学的巴比伦藏品 |
耶鲁大学的巴比伦藏品[[YBC 7289]]是一块泥板,制作于[[前1800年]]到[[前1600年]]之间。泥板上是一个画了两条对角线正方形,标注了<math>\sqrt 2</math>的[[六十进制]]数字 1;24,51,10。<ref>{{cite web|url=http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/ybc/analysis.html|title=Analysis of YBC 7289|work=ubc.ca|accessdate=19 January 2015|archive-date=2020-03-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20200312005425/http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/ybc/analysis.html|dead-url=yes}}</ref>六十进制的 1;24,51,10 即十进制的 1.41421296,精确到了小数点后5位(1.41421356...)。 |
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[[莱因德数学纸草书]]大约成书于[[前1650年]],内容抄写自更早年代的教科书。书中展示了埃及人使用反比法求平方根的过程。<ref>Anglin, W.S. (1994). ''Mathematics: A Concise History and Philosophy''. New York: Springer-Verlag.</ref> |
[[莱因德数学纸草书]]大约成书于[[前1650年]],内容抄写自更早年代的教科书。书中展示了埃及人使用反比法求平方根的过程。<ref>Anglin, W.S. (1994). ''Mathematics: A Concise History and Philosophy''. New York: Springer-Verlag.</ref> |
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[[古印度]]的《[[绳法经]]》大约成书于[[前800年]]到[[前500年]]之间,书中记载了将2的平方根的计算精确到小数点后5位的方法。 |
[[古印度]]的《[[绳法经]]》大约成书于[[前800年]]到[[前500年]]之间,书中记载了将2的平方根的计算精确到小数点后5位的方法。 |
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古希腊的《[[几何原本]]》大约成书于[[前380年]],书中还阐述了如果[[自然数|正整数]]不是[[完全平方数]],那么它的平方根就一定是[[无理数]]——一种无法以两个 |
古希腊的《[[几何原本]]》大约成书于[[前380年]],书中还阐述了如果[[自然数|正整数]]不是[[完全平方数]],那么它的平方根就一定是[[无理数]]——一种无法以两个整数的[[比率|比值]]表示的数(无法写作''m/n'',其中''m''和''n''是整数)。<ref>{{cite book |
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|first= Sir Thomas L. |
|first= Sir Thomas L. |
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|last= Heath |
|last= Heath |
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中国的《[[ |
中国的《[[书]]》成书于[[汉朝]](约[[前202年]]到[[前186年]]之间),书中介绍了使用[[盈不足术]]求平方根的方法。 |
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古代未有劃一的平方根符號時,人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。 |
古代未有劃一的平方根符號時,人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。 |
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<!--7世紀時[[印度]][[數學家]][[婆羅摩笈多]](Brahmagupta)用[[梵文]]的平方根“carani”的首個字母為平方根符號。-->[[拉丁語]]中的 |
<!--7世紀時[[印度]][[數學家]][[婆羅摩笈多]](Brahmagupta)用[[梵文]]的平方根“carani”的首個字母為平方根符號。-->中世紀時,[[拉丁語]]中的{{Lang-la|latus|lit=|label=none}}(正方形邊)的首個字母“L”被不少歐洲人採用;[[亨利·布里格斯]]在其著作《{{Lang-la|Arithmetica Logarithmica|label=none}}》中則用橫線當成{{Lang-la|latus|lit=|label=none}}的簡寫,在被開方的數下畫一線。 |
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最有影響的是拉丁語的 |
最有影響的是拉丁語的{{Lang-la|radix|label=none}}(平方根),1220年Leconardo在《''{{Lang-la|Practica geometriae|label=none}}''》中使用℞(R右下角的有一斜劃,像P和x的合體);⎷(沒有上面的橫劃)是由[[克里斯多福·魯登道夫]]在1525年的書''Coss''首次使用,據說是小寫r的變型;后来数学家[[笛卡尔]]给其加上线括号,但与前面的方根符号是分开的(即“⎷‾”),因此在复杂的式子中它显得很乱。直至18世纪中叶,数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成,并将[[根指数]]写在[[根号]]的左上角,以表示高次方根(当根指数为2时,省略不写),从而形成了现在人們熟知的[[开方]][[运算]]符号<math>\sqrt[n]{\,\,}</math>。 |
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== |
== 正數 == |
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[[File:Square root 0 25.svg|thumb|400px|函數<math>f(x) = \sqrt x</math>圖,半[[拋物線]]與垂直準線。]] |
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x的平方根亦可用[[指數]]表示,如: |
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<math>x</math>的平方根亦可用[[指數]]表示,如: |
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:<math>x^\frac 1 2 = \sqrt x</math> |
:<math>x^\frac 1 2 = \sqrt x</math> |
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\end{cases}\right)</math> |
\end{cases}\right)</math> |
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若正[[整數]]<math>x</math>是[[平方數]],則其平方根是整數。若正整數<math>x</math>不是平方數,則其平方根是[[無理數]]。 |
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=== 正數的平方根 === |
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[[File:Square root 0 25.svg|thumb|400px|函數<math>f(x) = \sqrt x</math>圖,半[[拋物線]]與垂直準線。]] |
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對於正數<math>x</math>、<math>y</math>,以下式成立: |
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若正[[整數]]x是[[平方數]],則其平方根是整數。若正整數x不是平方數,則其平方根是[[無理數]]。 |
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對於正數x、y,以下式成立: |
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:<math>\begin{align} |
:<math>\begin{align} |
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\sqrt{x} \sqrt{y} &= \sqrt{xy}\\ |
\sqrt{x} \sqrt{y} &= \sqrt{xy}\\ |
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\end{align}</math> |
\end{align}</math> |
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== 负数与複數 == |
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正数和负数的平方都是正数,0的平方是0,因此负数没有[[实数]]平方根。然而,我们可以把我们所使用的数字集合扩大,加入负数的平方根,这样的集合就是[[複數 (數學)|複數]]。首先需要引入一个实数集之外的新数字,记作<math>i</math>(也可以记作<math>j</math>,比如[[电学]]场景中<math>i</math>一般表示电流),称之为[[虚数单位]],定义即为<math>i^2 = -1</math>,故<math>i</math>是-1的平方根,而且<math>(-i)^2 = i^2 = -1</math>,所以<math>-i</math>也是-1的平方根。通常称-1的算术平方根是<math>i</math>,如果<math>x</math>是任意非负实数,则<math>-x</math>的算术平方根就是: |
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[[負數]]的平方根在[[複數]]範圍内同樣有定義。 |
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:<math>\sqrt{-x} = i \sqrt{x}</math> |
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例如-5的平方根有两个,它们分别为<math>\sqrt{5}i</math>和<math>-\sqrt{5}i</math>。 |
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以 |
之所以等式右侧(包括其对应的负值)是<math>-x</math>的算术平方根,是因为: |
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:<math> |
:<math>(i\sqrt{x})^2 = i^2(\sqrt{x})^2 = (-1)x = -x</math> |
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负数的兩個平方根为一对[[共軛複數|共轭]]的[[虚数|纯虚数]]。 |
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例如-5的平方根有两个,它们分别为<math>\sqrt{5}i</math>和<math>-\sqrt{5}i</math>。 |
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對於負數<math>x</math>、<math>y</math>,以下式成立: |
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對於負數x、y,以下式成立: |
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:<math>\begin{align} |
:<math>\begin{align} |
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\sqrt{x} \sqrt{y} &= \sqrt{-x}\,i \times \sqrt{-y}\,i = \sqrt{xy}\,i^2 = -\sqrt{xy}\\ |
\sqrt{x} \sqrt{y} &= \sqrt{-x}\,i \times \sqrt{-y}\,i = \sqrt{xy}\,i^2 = -\sqrt{xy}\\ |
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第72行: | 第80行: | ||
\end{align}</math> |
\end{align}</math> |
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== 平方根 |
=== 虚数的算术平方根 === |
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[[Image:Imaginary2Root.svg|right|thumb|复数平面中,<math>i</math>的两个平方根]] |
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{{no plot}} |
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虚数<math>i</math>的算术平方根可以根据以下公式计算: |
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== 複數的平方根 == |
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:<math>\sqrt{i} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)</math> |
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对于任何一个非零的复数<math>z</math>都存在两个複数<math>w</math>使得<math>w^2=z</math>。 |
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这个公式可以通过用[[代数]]方法推导,只需找到特定的实数<math>a</math>和<math>b</math>,满足 |
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<math>\sqrt{z}</math>通常定义如下:如果<math>z = r \exp (i\varphi)</math>(其中<math> - \pi < \varphi \le \pi </math>),则<math>\sqrt{z} = \sqrt{r} \exp(i\varphi/2)</math>。 |
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:<math> |
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因此,平方根函数除了在非正实数轴上以外是处处[[全纯函数|全纯]]的。<math>\sqrt{1+x}</math>的泰勒级数也适用于复数''x''(|''x''| < 1)。 |
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\begin{align} |
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i &= (a + bi)^2 \\ |
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&= a^2 + 2abi - b^2 |
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\end{align} |
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</math> |
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就可以得到[[方程组]] |
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如果一个复数是<math>x+iy</math>的形式,则可以使用以下公式计算平方根: |
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:<math> |
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\begin{cases} |
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2ab = 1 \\ |
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a^2 - b^2 = 0 |
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\end{cases} |
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</math> |
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的解: |
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:<math>\sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| + x}{2}} \pm i \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| - x}{2}}</math> |
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:<math>a = b = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}</math> |
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其中,算术平方根即为 |
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因為在虛數裏,平方根函數的值不是連續的,<math>\sqrt{zw} = \sqrt{z} \sqrt{w}</math>這條定律不成立。如果這條定律仍可用,就會出現一些錯誤的證明,例如: |
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:<math> |
:<math>a = b = \frac{\sqrt{2}}{2}</math> |
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这个公式还可以通过[[棣莫弗公式]]得到,设 |
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注意<math>\sqrt{c^2} = \pm c</math>,因此<math>\sqrt{a^2 b^2} = \pm ab</math>, |
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:<math>i = \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)</math> |
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<math>a = \sqrt{z}</math>和<math>b = \sqrt{w}</math>。 |
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就可以推出 |
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==多项式的平方根== |
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:<math> |
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\begin{align} |
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\sqrt{i} &= \left[\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)\right]^{\frac{1}{2}} \\ |
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&= \cos \left(\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) \\ |
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&= \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \\ |
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&= \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i) |
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\end{align} |
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</math> |
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=== 复数的算术平方根 === |
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[[Image:Visualisation_complex_number_roots.svg|right|thumb|极坐标下,复数<math>z</math>的几个方根]] |
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对于任何一个非零的复数<math>z</math>都存在两个複数<math>w</math>使得<math>w^2 = z</math>。 |
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首先,我们将复数<math>x + iy</math> 看作是平面上的点,即[[笛卡尔坐标系]]中的<math>(x, y)</math>点。这个点也可以写作[[极坐标]]的<math>(r, \varphi)</math>,其中<math>r \geq 0</math>,是该点到坐标原点的距离,<math>\varphi</math>则是从原点到该点的直线与实数坐标轴(<math>x</math>轴)的夹角。[[复分析]]中,通常把该点记作<math>re^{i \varphi}</math>。如果 |
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:<math>z = r e^{i \varphi}, -\pi < \varphi \le \pi</math> |
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那么我们将<math>z</math>的算术平方根定义为: |
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:<math>\sqrt{z} = \sqrt{r} e^{\frac{i \varphi}{2}}</math> |
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因此,平方根函数除了在非正实数轴上以外是处处[[全纯函数|全纯]]的。<math>\sqrt{1+x}</math> 的泰勒级数也适用于复数<math>x (\left \vert x \right \vert < 1)</math>。 |
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上面的公式还可以用[[三角函数]]的形式表达: |
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:<math>\sqrt{r \left(\cos \varphi + i \sin \varphi \right)} = \sqrt{r} \left(\cos \frac{\varphi}{2} + i \sin \frac{\varphi}{2}\right)</math> |
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=== 代数公式 === |
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如果使用笛卡尔坐标的形式表达复数 ''z'',其算术平方根可以使用如下公式:<ref>{{cite book |
|||
|title = Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables |
|||
|edition = |
|||
|first1 = Milton |
|||
|last1 = Abramowitz |
|||
|first2 = Irene A. |
|||
|last2 = Stegun |
|||
|publisher = Courier Dover Publications |
|||
|year = 1964 |
|||
|isbn = 0-486-61272-4 |
|||
|page = 17 |
|||
|url = https://books.google.com/books?id=MtU8uP7XMvoC |
|||
|deadurl = no |
|||
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20160423180235/https://books.google.com/books?id=MtU8uP7XMvoC |
|||
|archivedate = 2016-04-23 |
|||
|df = |
|||
}}, [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_17.htm Section 3.7.27, p. 17] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090910094533/http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_17.htm |date=2009-09-10 }} |
|||
</ref><ref>{{cite book |
|||
|title = Classical algebra: its nature, origins, and uses |
|||
|first1 = Roger |
|||
|last1 = Cooke |
|||
|publisher = John Wiley and Sons |
|||
|year = 2008 |
|||
|isbn = 0-470-25952-3 |
|||
|page = 59 |
|||
|url = https://books.google.com/books?id=lUcTsYopfhkC&pg=PA59 |
|||
|deadurl = no |
|||
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20160423183239/https://books.google.com/books?id=lUcTsYopfhkC&pg=PA59 |
|||
|archivedate = 2016-04-23 |
|||
|df = |
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}} |
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</ref> |
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:<math>\sqrt{z} = \sqrt{\frac{|z| + \Re(z)}{2}} \pm i \sqrt{\frac{|z| - \Re(z)}{2}}</math> |
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其中,方根虚部的[[符号函数|符号]]与被开方数虚部的符号相同(为0时取正);{{Tsl|en|Principal value|主值}}实部永远非负。 |
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在虛數{{裏}},平方根函數的值不是連續的,以下等式不一定成立: |
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* <math>\sqrt{zw} = \sqrt{z} \sqrt{w}</math> |
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* <math>\frac{\sqrt{w}}{\sqrt{z}} = \sqrt{\frac{w}{z}}</math> |
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* <math>\sqrt{z^*} = \left(\sqrt{z}\right)^*</math> |
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所以這是錯誤的: |
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:<math>-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1</math> |
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==多项式== |
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{{see also|因式分解}} |
{{see also|因式分解}} |
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例:若<math>x\in\mathbb{R}</math>,<math> \sqrt{x^4+2x^2+1}=\sqrt{(x^2+1)^2}=|x^2+1|=x^2+1\,\!</math> |
例:若<math>x\in\mathbb{R}</math>,<math> \sqrt{x^4+2x^2+1}=\sqrt{(x^2+1)^2}=|x^2+1|=x^2+1\,\!</math> |
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== 2的算术平方根 == |
== 2的算术平方根 == |
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數學史中,最重要的平方根可以說是<math>\sqrt{2}</math>,它代表邊長為1的[[正方形]]的[[對角線]]長,是第一個公認的[[無理數]],也叫[[2的算术平方根|毕达哥拉斯常数]]。 |
數學史中,最重要的平方根可以說是<math>\sqrt{2}</math>,它代表邊長為1的[[正方形]]的[[對角線]]長,是第一個公認的[[無理數]],也叫[[2的算术平方根|毕达哥拉斯常数]],其值到小數點14位約為{{Root|2}}。 |
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<math>\sqrt{2}</math>是無理數,可由[[歸謬法]]證明: |
<math>\sqrt{2}</math>是無理數,可由[[歸謬法]]證明: |
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# 設<math>\sqrt{2}</math>為[[有理數]],可表示為<math>{\frac{p}{q}}</math>,其中 |
# 設<math>\sqrt{2}</math>為[[有理數]],可表示為<math>{\frac{p}{q}}</math>,其中<math>p</math>、<math>q</math>為[[互質]]之正整數。 |
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# 因為<math>\left( \sqrt 2 \right) ^{2} = {\frac{p^2}{q^2}} = 2</math>,故<math>p^2</math>是2的倍數,''p''也是2的倍數,記為 |
# 因為<math>\left( \sqrt 2 \right) ^{2} = {\frac{p^2}{q^2}} = 2</math>,故<math>p^2</math>是2的倍數,''<math>p</math>''也是2的倍數,記為<math>2k</math>,其中<math>k</math>為正整數。 |
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# 但是<math> 2q^2 = p^2 = 4k^2 </math>,故<math> q^2 = 2k^2 </math>,<math> q^2 </math>是2的倍數,''q''也是2的倍數。 |
# 但是<math> 2q^2 = p^2 = 4k^2 </math>,故<math> q^2 = 2k^2 </math>,<math> q^2 </math>是2的倍數,''<math>q</math>''也是2的倍數。 |
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# 依上兩式, |
# 依上兩式,<math>p</math>、<math>q</math>都是2的倍數,和<math>p</math>、<math>q</math>為互質之正整數的前題矛盾。依歸謬法,得證<math>\sqrt{2}</math>不是有理數,即<math>\sqrt{2}</math>是無理數。 |
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== 計算方法 == |
== 計算方法 == |
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===因數計算=== |
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<math>\sqrt{24}=\sqrt{2^2\cdot 6}=\sqrt{2^2}\sqrt{6}=2\sqrt{6}</math>。 |
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注意,6 的质因数分解为 2 × 3,不能写成某个数的平方,因此 <math>2\sqrt{6}</math> 就是最简结果 |
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。 |
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=== 中算开方 === |
=== 中算开方 === |
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[[File:JIA XIAN SQRT2.GIF|thumb|right|300px|北宋贾宪增乘开平方法]] |
[[File:JIA XIAN SQRT2.GIF|thumb|right|300px|北宋贾宪增乘开平方法]] |
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第112行: | 第210行: | ||
=== 長除式算法 === |
=== 長除式算法 === |
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長除式算平方根的方式也稱為直式開方法,原理是<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=a^2+(2a+b)b</math>。 |
長除式算平方根的方式也稱為直式開方法,原理是<math>. |
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(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=a^2+(2a+b)b</math>。 |
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# 首先將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開,如98765.432內小數點前的65是一組,87是一組,9是一組,小數點後的43是一組,之後是單獨一個2,要補一個0而得20是一組。如1 04.85 73得四組,順序為1' 04. 85' 73'。 |
# 首先將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開,如98765.432內小數點前的65是一組,87是一組,9是一組,小數點後的43是一組,之後是單獨一個2,要補一個0而得20是一組。如1 04.85 73得四組,順序為1' 04. 85' 73'。 |
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# 將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數,並將該平方數的開方(應該是個位數)記下。 |
# 將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數,並將該平方數的開方(應該是個位數)記下。 |
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# 將上一步所得之差乘100,和下一組數加起來。 |
# 將上一步所得之差乘100,和下一組數加起來。 |
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# 將記下的數乘20,然後將它加上某個個位數,再乘以該個個位數,令這個積不大於 |
# 將記下的數乘20,然後將它加上某個個位數,再乘以該個個位數,令這個積不大於但最接近上一步所得之差,並將該個個位數記下,且將上一步所得之差減去所得之積。 |
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# 記下的數一次隔兩位記下。 |
# 記下的數一次隔兩位記下。 |
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# 重覆第3步,直到找到答案。 |
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平方根可以简便地用连分数的形式表示,关于连分数请见[[连分数]],其中1至20的算术平方根分别可用连分数表示为:<br /> |
平方根可以简便地用连分数的形式表示,关于连分数请见[[连分数]],其中1至20的算术平方根分别可用连分数表示为:<br /> |
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<math>\sqrt 1=1</math><br /> |
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<math>\sqrt 2=[1;2,2,2,2...] </math><br /> |
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<math>\sqrt 3=[1;1,2,1,2...] </math><br /> |
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<math>\sqrt 4=2 </math><br /> |
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<math>\sqrt 5=[2;4,4,4,4...] </math><br /> |
<math>\sqrt {5}=[2;4,4,4,4...] </math><br /> |
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<math>\sqrt 6=[2;2,4,2,4...]</math><br /> |
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<math>\sqrt 7=[2;1,1,1,4,1,1,1,4...] </math><br /> |
<math>\sqrt {7}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4...] </math><br /> |
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<math>\sqrt 8=[2;1,4,1,4...]</math><br /> |
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<math>\sqrt 9=3</math><br /> |
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<math>\sqrt 10=[3;6,6,6,6...] </math><br /> |
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<math>\sqrt 11=[3;3,6,3,6...]</math><br /> |
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<math>\sqrt 12=[3;2,6,2,6...] </math><br /> |
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<math>\sqrt 13=[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6...] </math><br /> |
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<math>\sqrt 14=[3;1,2,1,6,1,2,1,6...] </math><br /> |
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<math>\sqrt 15=[3;1,6,1,6...] </math><br /> |
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<math>\sqrt 16=4 </math><br /> |
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<math>\sqrt 17=[4;8,8,8,8...] </math><br /> |
<math>\sqrt {17}=[4;8,8,8,8...] </math><br /> |
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<math>\sqrt 18=[4;4,8,4,8...] </math><br /> |
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<math>\sqrt 19=[4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8...] </math><br /> |
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<math>\sqrt 20=[4;2,8,2,8...] </math><br /> |
<math>\sqrt {20}=[4;2,8,2,8...] </math><br /> |
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连分数部分均循环,省略号前为2或4个循环节。 |
连分数部分均循环,省略号前为2或4个循环节。 |
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===巴比倫方法=== |
===巴比倫方法=== |
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{{main|{{link-en|巴比倫方法|Babylonian method}}}} |
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巴比伦求平方根的算法实际上很简单:(假设要求一个数N的平方根) |
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# 预测一个平方根<math>x</math>,初始另一个值<math>y</math>,且<math>xy=N</math> |
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# 求预测值与初始值的均值:<math>x=\frac{x+y}{2}</math>, <math>y=\frac{N}{x}</math> |
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# 比较<math>x</math>和<math>y</math>的差值是否达到精度,如果无,继续步骤 |
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=== 重複的算術運算 === |
=== 重複的算術運算 === |
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=== [[尺规作图]] === |
=== [[尺规作图]] === |
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==== 問題 ==== |
==== 問題 ==== |
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給定線段''AB''和1,求一條長為{ |
給定線段''AB''和1,求一條長為<math>\sqrt{AB}</math>的線段。 |
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==== 解法 ==== |
==== 解法 ==== |
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[[File:Rcsquare root.png|right]] |
[[File:Rcsquare root.png|right]] |
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# 畫線''AB'',延長''BA''至''C''使 |
# 畫線''AB'',延長''BA''至''C''使<math>AC=1</math> |
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# 以''BC''的中點為圓心,''OC''為半徑畫圓 |
# 以''BC''的中點為圓心,''OC''為半徑畫圓 |
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# 過''A''畫''BC''的垂直線,垂直線和圓弧交於''D'',''AD''即為所求之長度 |
# 過''A''畫''BC''的垂直線,垂直線和圓弧交於''D'',''AD''即為所求之長度 |
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==== 證明 ==== |
==== 證明 ==== |
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將整個過程搬到[[笛卡儿坐标系|直角座標]]上,已知''AC''=1,設 |
將整個過程搬到[[笛卡儿坐标系|直角座標]]上,已知''AC''=1,設 |
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* ''O''= |
* ''O''=<math>(0,0)</math> |
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* ''AB''= |
* ''AB''=<math>n</math> |
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# 直徑為''BC''的圓就是<math>x^2 + y^2 = \left({\frac{n+1}{2}}\right)^2</math>(圓的方程式:<math>x^2+y^2= |
# 直徑為''BC''的圓就是<math>x^2 + y^2 = \left({\frac{n+1}{2}}\right)^2</math>(圓的方程式:<math>x^2+y^2=r^2</math>)(其中<math>r</math>表示半径。) |
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# 將<math>\left({\frac{n+1}{2}} -1 \right)</math>(''A'',''D''所在的''x''座標)代入上面的方程式 |
# 將<math>\left({\frac{n+1}{2}} -1 \right)</math>(''A'',''D''所在的''x''座標)代入上面的方程式 |
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# <math>\left({\frac{n+1}{2}} -1 \right)^2 + y^2 = \left({\frac{n+1}{2}}\right)^2</math> |
# <math>\left({\frac{n+1}{2}} -1 \right)^2 + y^2 = \left({\frac{n+1}{2}}\right)^2</math> |
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# 解方程,得 |
# 解方程,得<math>y=\sqrt{n}</math>。 |
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另也可参见[[射影定理]]。 |
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[[File:射影定理 2.jpg|缩略图|射影定理(图)]] |
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== 参见 == |
== 参见 == |
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* [https://web.archive.org/web/19990220034927/http://members.aol.com/jeff570/operation.html Earliest Uses of Symbols of Operation]{{en}} |
* [https://web.archive.org/web/19990220034927/http://members.aol.com/jeff570/operation.html Earliest Uses of Symbols of Operation]{{en}} |
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* [https://web.archive.org/web/20060821061824/http://www.roma.unisa.edu.au/07305/symbols.htm#Radical#Radical The History of Mathematical Symbols: The radical symbol] |
* [https://web.archive.org/web/20060821061824/http://www.roma.unisa.edu.au/07305/symbols.htm#Radical#Radical The History of Mathematical Symbols: The radical symbol] |
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* [http://www.docin.com/p-133945458.html 开方公式的推导] |
* [http://www.docin.com/p-133945458.html 开方公式的推导] {{Wayback|url=http://www.docin.com/p-133945458.html |date=20120622071420 }} |
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* [http://www.calculatorsquareroot.com 平方根計算器]{{en}} |
* [http://www.calculatorsquareroot.com 平方根計算器] {{Wayback|url=http://www.calculatorsquareroot.com/ |date=20200803211832 }}{{en}} |
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== 參考資料 == |
== 參考資料 == |
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2024年11月26日 (二) 17:20的最新版本
在數學中,一個數的平方根指的是滿足的數,即平方結果等於的數。例如,4和-4都是16的平方根,因为。
任意非負實數都有唯一的非負平方根,称为算术平方根或主平方根(英語:principal square root),記為,其中的符号称作根号。例如,9的算术平方根为3,记作 ,因为并且3非负。被求平方根的数称作被开方数(英語:radicand),是根号下的数字或者表达式,即例子中的数字9。
正数有兩個互为相反数的平方根:正数与负数,可以将两者一起记为。
負數的平方根在複數系中有定義。而實際上,對任何定義了開平方運算的數學物件都可考慮其“平方根”(例如矩陣的平方根)。
- 在MicroSoft的試算表軟體Excel與大部分程式語言中以 "sqrt()"表示求主平方根。
历史
[编辑]耶鲁大学的巴比伦藏品YBC 7289是一块泥板,制作于前1800年到前1600年之间。泥板上是一个画了两条对角线正方形,标注了的六十进制数字 1;24,51,10。[1]六十进制的 1;24,51,10 即十进制的 1.41421296,精确到了小数点后5位(1.41421356...)。
莱因德数学纸草书大约成书于前1650年,内容抄写自更早年代的教科书。书中展示了埃及人使用反比法求平方根的过程。[2]
古印度的《绳法经》大约成书于前800年到前500年之间,书中记载了将2的平方根的计算精确到小数点后5位的方法。
古希腊的《几何原本》大约成书于前380年,书中还阐述了如果正整数不是完全平方数,那么它的平方根就一定是无理数——一种无法以两个整数的比值表示的数(无法写作m/n,其中m和n是整数)。[3]
中国的《书》成书于汉朝(约前202年到前186年之间),书中介绍了使用盈不足术求平方根的方法。
古代未有劃一的平方根符號時,人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。
中世紀時,拉丁語中的latus(正方形邊)的首個字母“L”被不少歐洲人採用;亨利·布里格斯在其著作《Arithmetica Logarithmica》中則用橫線當成latus的簡寫,在被開方的數下畫一線。
最有影響的是拉丁語的radix(平方根),1220年Leconardo在《Practica geometriae》中使用℞(R右下角的有一斜劃,像P和x的合體);⎷(沒有上面的橫劃)是由克里斯多福·魯登道夫在1525年的書Coss首次使用,據說是小寫r的變型;后来数学家笛卡尔给其加上线括号,但与前面的方根符号是分开的(即“⎷‾”),因此在复杂的式子中它显得很乱。直至18世纪中叶,数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成,并将根指数写在根号的左上角,以表示高次方根(当根指数为2时,省略不写),从而形成了现在人們熟知的开方运算符号。
正數
[编辑]的平方根亦可用指數表示,如:
的絕對值可用的算數平方根表示:
若正整數是平方數,則其平方根是整數。若正整數不是平方數,則其平方根是無理數。
對於正數、,以下式成立:
负数与複數
[编辑]正数和负数的平方都是正数,0的平方是0,因此负数没有实数平方根。然而,我们可以把我们所使用的数字集合扩大,加入负数的平方根,这样的集合就是複數。首先需要引入一个实数集之外的新数字,记作(也可以记作,比如电学场景中一般表示电流),称之为虚数单位,定义即为,故是-1的平方根,而且,所以也是-1的平方根。通常称-1的算术平方根是,如果是任意非负实数,则的算术平方根就是:
例如-5的平方根有两个,它们分别为和。
之所以等式右侧(包括其对应的负值)是的算术平方根,是因为:
對於負數、,以下式成立:
虚数的算术平方根
[编辑]虚数的算术平方根可以根据以下公式计算:
这个公式可以通过用代数方法推导,只需找到特定的实数和,满足
就可以得到方程组
的解:
其中,算术平方根即为
这个公式还可以通过棣莫弗公式得到,设
就可以推出
复数的算术平方根
[编辑]对于任何一个非零的复数都存在两个複数使得。
首先,我们将复数 看作是平面上的点,即笛卡尔坐标系中的点。这个点也可以写作极坐标的,其中,是该点到坐标原点的距离,则是从原点到该点的直线与实数坐标轴(轴)的夹角。复分析中,通常把该点记作。如果
那么我们将的算术平方根定义为:
因此,平方根函数除了在非正实数轴上以外是处处全纯的。 的泰勒级数也适用于复数。
上面的公式还可以用三角函数的形式表达:
代数公式
[编辑]如果使用笛卡尔坐标的形式表达复数 z,其算术平方根可以使用如下公式:[4][5]
其中,方根虚部的符号与被开方数虚部的符号相同(为0时取正);主值实部永远非负。
在虛數裡,平方根函數的值不是連續的,以下等式不一定成立:
所以這是錯誤的:
多项式
[编辑]例:若,
2的算术平方根
[编辑]數學史中,最重要的平方根可以說是,它代表邊長為1的正方形的對角線長,是第一個公認的無理數,也叫毕达哥拉斯常数,其值到小數點14位約為1.4142135623731。
是無理數,可由歸謬法證明:
- 設為有理數,可表示為,其中、為互質之正整數。
- 因為,故是2的倍數,也是2的倍數,記為,其中為正整數。
- 但是,故,是2的倍數,也是2的倍數。
- 依上兩式,、都是2的倍數,和、為互質之正整數的前題矛盾。依歸謬法,得證不是有理數,即是無理數。
計算方法
[编辑]因數計算
[编辑]。
注意,6 的质因数分解为 2 × 3,不能写成某个数的平方,因此 就是最简结果 。
中算开方
[编辑]《九章算术》和《孙子算经》都有筹算的开方法。宋代数学家贾宪发明释锁开平方法、增乘开平方法;明代数学家王素文,程大位发明珠算开平方法,而朱载堉《算学新说》首创用81位算盘开方,精确到25位数字[6]。
長除式算法
[编辑]長除式算平方根的方式也稱為直式開方法,原理是。
- 首先將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開,如98765.432內小數點前的65是一組,87是一組,9是一組,小數點後的43是一組,之後是單獨一個2,要補一個0而得20是一組。如1 04.85 73得四組,順序為1' 04. 85' 73'。
- 將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數,並將該平方數的開方(應該是個位數)記下。
- 將上一步所得之差乘100,和下一組數加起來。
- 將記下的數乘20,然後將它加上某個個位數,再乘以該個個位數,令這個積不大於但最接近上一步所得之差,並將該個個位數記下,且將上一步所得之差減去所得之積。
- 記下的數一次隔兩位記下。
- 重覆第3步,直到找到答案。
- 可以在數字的最右補上多組的00'以求得理想的精確度為止。
下面以為例子:
四捨五入得答案為14.14。
事實上,將算法稍作改動,可以開任何次方的根,詳見n次方算法。
利用高精度长式除法可以计算出1至20的平方根如下:
1 | ||
1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462 | ||
1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909 | ||
2 | ||
2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638 | ||
2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457 | ||
2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230 | ||
2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924 | ||
3 | ||
3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639 | ||
3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609 | ||
3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818 | ||
3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293 | ||
3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307 | ||
3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937 | ||
4 | ||
4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338 | ||
4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386 | ||
4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203 | ||
4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276 |
牛頓法
[编辑]如果要求的平方根,選取
例子:求至6位有效數字。
因此.
平方根可以简便地用连分数的形式表示,关于连分数请见连分数,其中1至20的算术平方根分别可用连分数表示为:
连分数部分均循环,省略号前为2或4个循环节。
巴比倫方法
[编辑]巴比伦求平方根的算法实际上很简单:(假设要求一个数N的平方根)
- 预测一个平方根,初始另一个值,且
- 求预测值与初始值的均值:,
- 比较和的差值是否达到精度,如果无,继续步骤
重複的算術運算
[编辑]這個方法是從佩爾方程演變過來的,它通過不斷減去奇數來求得答案。
問題
[编辑]給定線段AB和1,求一條長為的線段。
解法
[编辑]- 畫線AB,延長BA至C使
- 以BC的中點為圓心,OC為半徑畫圓
- 過A畫BC的垂直線,垂直線和圓弧交於D,AD即為所求之長度
證明
[编辑]將整個過程搬到直角座標上,已知AC=1,設
- O=
- AB=
- 直徑為BC的圓就是(圓的方程式:)(其中表示半径。)
- 將(A,D所在的x座標)代入上面的方程式
- 解方程,得。
另也可参见射影定理。
参见
[编辑]外部链接
[编辑]- Earliest Uses of Symbols of Operation(英文)
- The History of Mathematical Symbols: The radical symbol
- 开方公式的推导 (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- 平方根計算器 (页面存档备份,存于互联网档案馆)(英文)
參考資料
[编辑]- ^ Analysis of YBC 7289. ubc.ca. [19 January 2015]. (原始内容存档于2020-03-12).
- ^ Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York: Springer-Verlag.
- ^ Heath, Sir Thomas L. The Thirteen Books of The Elements, Vol. 3. Cambridge University Press. 1908: 3.
- ^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. Courier Dover Publications. 1964: 17. ISBN 0-486-61272-4. (原始内容存档于2016-04-23)., Section 3.7.27, p. 17 互联网档案馆的存檔,存档日期2009-09-10.
- ^ Cooke, Roger. Classical algebra: its nature, origins, and uses. John Wiley and Sons. 2008: 59. ISBN 0-470-25952-3. (原始内容存档于2016-04-23).
- ^ 劳汉生《珠算与实用算术》ISBN 7-5375-1891-2/O