交流电功率：修订间差异

删除的内容添加的内容

行内

2024年9月28日 (六) 11:43的最新版本

在电路中，瞬时功率（instantaneous power）是能量流过电路给定点的时间变率（time rate）。在交流电路中，平均功率则是在一个完整周期的交流波形取能量对时间变率的平均。

交流电功率（AC power，与“交流电源”之英语相同）是电能在交流电路中流动的速率。由于在交流电路或交流电系统中，电感器和电容器之类的储能元件（或负载）可能导致能量流动方向的周期反转，因此定义交流电功率的瞬时功率中，可导致能量在某特定方向上净转移的部分（净流动率）称为瞬时有功功率；瞬时有功功率的时间均值（time average），称为有功功率（active power）或实功率（real power）；而交流电功率的瞬时功率中，无法导致能量在特定方向上的净转移的部分称为瞬时无功功率；瞬时无功功率的时间均值，称为无功功率（reactive power）或虛功率（fictitious power），其成因为储存的能量在每个周期中振荡往返于储能元件（或负载）与电源间；瞬时无功功率的幅值是无功功率的绝对值^[1]^[2]。

定義

对一个线性负载而言，电路中电压与电流都是遵循相同规律变化的，例如都按照正弦波变化。如果负载是纯电阻的话，电路中电压与电流会在相同的时间改变各自的极性，电压与电流的乘积永远都是大于或等于0的，表示能量的流动方向不会逆转。此时电路上只有实际功率流动。

而如果负载是纯电容或純電感的话，电路中的电流与电压会出现90度的相位差。这样一来，在交流电的每个周期内，半个周期中电流与电压乘积为正，而另半个周期中电流与电压乘积为负，而且二者相加正好为0，表示每个周期内流向负载的电能全部被返还到电源中，整体上电路没有消耗电能，电路上只有无功功率流动。

在实际生活中，负载通常会同时有电阻性、电容性和电感性，因此电路上会同时有无功功率和实际功率。电力工程师将无功功率和实际功率的向量和的模作为视在功率。视在功率的定义为电压的均方根乘以电流的均方根。虽然无功功率不传递能量，但是对维持输电系统穩定性有重要作用。供應端及負載端的有功功率必須相等，無功功率亦必須相等，系統才可正常運作。同步發電機可以輸出有功及無功功率，透過控制勵磁系統可以改變無功功率的輸出大小。

尽管无功功率在负载上不做功，但是对于一个实际系统来说，电流流过导线时，会使导线发热，部分电能因此会损失掉，因此电力工程师需要关心视在功率。变压器和导线都需要按照视在功率的大小设计，而不是有功功率。发电机和不间断电源等供電設備需同時考慮视在功率和有功功率。另外，直接将两个负载各自的视在功率相加，并不一定等于两个负载整体的视在功率，除非两个负载的电压和电流的相位差一致，或两个负载具有相同的功率因数。

根據定義，电容器提供无功功率，而电感器消耗无功功率。因此計算負載時，電阻是正數（代表消耗實功），電感也是正數（代表消耗虛功），电容則是負數（代表提供虛功）。

如果将电容器和电感器并联，那么二者的电流会倾向于相互抵消而不是叠加。这是电力系统中进行功率因数校正的一个基本方法。一般慣例，若電流的相位領先電壓的相位，則稱為功率因數領先，反之則稱為功率因數落後。例如，複數功率 S = 800 + j600 表示 800W 实功、600var 虛功、1000VA 視在功率及功率因數 0.8 落後。

功率的单位是瓦特（符号为W），但是一般来说，只有讨论实际功率的时候才会用这个称呼。视在功率的单位一般以伏特·安培（简称“伏安”，符号为VA）称呼，因为其定义为电流的均方根乘以电压的均方根。无功功率的单位为无功伏特·安培，简称“无功伏安”，符号为var。

公式

交流電功率可以用实數或複數的方式表示。一般而言，在物理學及科學研究中通常使用实數計算電功率，並以弧度作為相角的單位。在電機工程學中，會按需要使用实數或複數，相角也可採用角度或弧度表示。

实數

各个与功率相关的参数，以及各自的单位如下所示^[3]：

有功功率、平均功率或实功率 P：瓦特（W）
无功功率或虛功率 Q：无功伏安（var）
电压-电流相位差或功率角（power angle） $\theta =\theta _{v}-\theta _{i}$ ：角度（°）或弧度（rad）
视在功率 S：伏安（VA）
功率因數（power factor）：無單位

交流電訊號為弦波訊號，其電壓可寫成 $v(t)=V_{m}\,\cos(\omega t+\theta _{v})$ ，電流可寫成 $i(t)=I_{m}\,\cos(\omega t+\theta _{i})$

瞬時功率: $p(t)=v(t)\,i(t)$ $={\frac {V_{m}I_{m}}{2}}\cos \,\theta \,(1+\cos \,2\omega t)-{\frac {V_{m}I_{m}}{2}}\sin \,\theta \,\sin \,2\omega t$ $={\frac {V_{m}I_{m}}{2}}\cos \,\theta +{\frac {V_{m}I_{m}}{2}}\cos \,(\theta +2\omega t)$ $=P+|S|\,\cos \,(\theta +2\omega t)$; 以上可得瞬時功率的頻率為電壓或電流的兩倍，平均瞬時功率為 $P$ ，最大瞬時功率為 $P+|S|$ ，最小瞬時功率為 $P-|S|$ 。
视在功率: $S=V\,I={\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}$
功率因數: $pf={\frac {P}{S}}=\cos \,\theta$
阻抗: $Z={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}$; $V=IZ$

複數

在電機工程中，電流通常標記為 $i(t)$ 或簡寫為 $i$ 。為免與電流混淆，虛數單位改用i之後的英文字母j，且虛數單位標記於數字前。

j^{2}=-1

複數功率: $|S|={\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}$; $S=VI^{*}=P+jQ$; $S=I^{2}Z={\frac {V^{2}}{Z^{*}}}$
功率因數: $pf={\frac {P}{|S|}}=\cos \,\theta$
阻抗: $Z=R+jX$; $V=IZ$

相比实數版公式，複數版公式的最大差別在於，計算功率時必須取電流的共軛，原因是相差的定義是電壓相角減電流相角。

V=V_{pk}\angle \theta _{v}

I=I_{pk}\angle \theta _{i}

S=V_{pk}I_{pk}\angle (\theta _{v}-\theta _{i})=VI^{*}

参见

參考資料

^ Thomas, Roland E.; Rosa, Albert J.; Toussaint, Gregory J. The Analysis and Design of Linear Circuits 8. Wiley. 2016: 812–813. ISBN 978-1-119-23538-5.
^ IEEE Standard Definitions for the Measurement of Electric Power Quantities Under Sinusoidal, Nonsinusoidal, Balanced, or Unbalanced Conditions. IEEE. 2010. ISBN 978-0-7381-6058-0. doi:10.1109/IEEESTD.2010.5439063.
^ 《Electric Circuits》10th edition by James W. Nilsson & Susan A. Riedel (2014)

[1] Thomas, Roland E.; Rosa, Albert J.; Toussaint, Gregory J. The Analysis and Design of Linear Circuits 8. Wiley. 2016: 812–813. ISBN 978-1-119-23538-5.

[2] IEEE Standard Definitions for the Measurement of Electric Power Quantities Under Sinusoidal, Nonsinusoidal, Balanced, or Unbalanced Conditions. IEEE. 2010. ISBN 978-0-7381-6058-0. doi:10.1109/IEEESTD.2010.5439063.

[3] 《Electric Circuits》10th edition by James W. Nilsson & Susan A. Riedel (2014)

[1]

[2]

[3]

@@ 第1行： / 第1行： @@
+[[File:Power factor 0.7.svg|350px|thumb|當電壓和電流出現相差，能量流動的方向便會出現周期性的逆轉。因為<math>v(t) i(t)</math>的積不再總是大於零。]]
-电路中的功率指的是能量通过电路中一点的速率。在[[交流电|交流电力系统]]中，例如[[电感器]]和[[电容器]]之类的储能装置可能会导致能量流动方向的周期性变化。在一个完整周期内，能量在一个方向上的净流动率称为实际功率，而由储能装置返回电源的部分称为无功功率。
+在电路中，'''瞬时功率'''（instantaneous power）是能量流过电路给定点的时间变率（time rate）。在交流电路中，平均功率则是在一个完整周期的交流波形取能量对时间变率的平均。
-对一个线性负载而言，电路中[[电压]]与[[电流]]都是呈[[正弦]]规律变化的。如果负载是纯[[电阻]]的话，电路中电压与电流会在相同的时间改变各自的[[极性]]，电压与电流的乘积永远都是大于或等于0的，表示能量的流动方向不会逆转。此时电路上只有实际功率流动。
+'''交流电功率'''（AC power，与“交流电源”之英语相同）是电能在交流电路中流动的速率。由于在交流电路或[[交流电]]系统中，[[电感器]]和[[电容器]]之类的储能元件（或负载）可能导致能量流动方向的周期反转，因此定义交流电功率的瞬时功率中，可导致能量在某特定方向上净转移的部分（净流动率）称为'''瞬时有功功率'''；瞬时有功功率的时间均值（time average），称为'''有功功率'''（active power）或'''实功率'''（real power）；而交流电功率的瞬时功率中，无法导致能量在特定方向上的净转移的部分称为'''瞬时无功功率'''；瞬时无功功率的时间均值，称为'''无功功率'''（reactive power）或'''虛功率'''（fictitious power），其成因为储存的能量在每个周期中振荡往返于储能元件（或负载）与电源间；瞬时无功功率的幅值是无功功率的绝对值<ref>{{cite book|title=The Analysis and Design of Linear Circuits|edition=8|first1=Roland E.|last1=Thomas|first2 = Albert J.|last2=Rosa|first3=Gregory J.|last3=Toussaint|publisher=Wiley|year=2016|pages=812–813|isbn=978-1-119-23538-5}}</ref><ref>{{cite book|title=IEEE Standard Definitions for the Measurement of Electric Power Quantities Under Sinusoidal, Nonsinusoidal, Balanced, or Unbalanced Conditions|publisher=IEEE|year=2010|isbn=978-0-7381-6058-0|doi=10.1109/IEEESTD.2010.5439063}}</ref>。
-而如果负载是纯电抗的话，电路中的电流与电压会出现90度的[[相位]]差。这样一来，在交流电的每个周期内，半个周期中电流与电压乘积为正，而另半个周期中电流与电压乘积为负，而且二者相加正好为0，表示每个周期内流向负载的电能全部被返还到了电源中，整体上电路没有消耗电能，电路上只有无功功率流动。
+==定義==
-在实际生活中，负载通常会同时有电阻性、电容性和电感性，因此电路上会同时有无功功率和实际功率。电力工程师将无功功率和实际功率的[[矢量]]和的[[模]]作为视在功率。视在功率的定义为电压的[[均方根]]乘以电流的均方根。
+对一个线性负载而言，电路中[[电压]]与[[电流]]都是遵循相同规律变化的，例如都按照[[正弦波]]变化。如果负载是纯[[电阻]]的话，电路中电压与电流会在相同的时间改变各自的[[极性]]，电压与电流的乘积永远都是大于或等于0的，表示能量的流动方向不会逆转。此时电路上只有实际功率流动。
+而如果负载是纯电容或純電感的话，电路中的电流与电压会出现90度的[[相位]]差。这样一来，在交流电的每个周期内，半个周期中电流与电压乘积为正，而另半个周期中电流与电压乘积为负，而且二者相加正好为0，表示每个周期内流向负载的电能全部被返还到电源中，整体上电路没有消耗电能，电路上只有无功功率流动。
-尽管无功功率在负载上不[[做功]]，但是对于一个实际系统来说，电流流过[[导线]]时，会使导线发热，部分电能因此会损失掉，因此电力工程师需要关心视在功率。[[变压器]]、[[发电机]]、导线等都需要按照视在功率的大小设计，而不是实际功率。
+在实际生活中，负载通常会同时有电阻性、电容性和电感性，因此电路上会同时有无功功率和实际功率。电力工程师将无功功率和实际功率的[[向量]]和的[[模]]作为视在功率。视在功率的定义为电压的[[均方根]]乘以电流的均方根。虽然无功功率不传递能量，但是对维持输电系统穩定性有重要作用。供應端及負載端的有功功率必須相等，無功功率亦必須相等，系統才可正常運作。同步發電機可以輸出有功及無功功率，透過控制勵磁系統可以改變無功功率的輸出大小。
-另外，直接将两个负载各自的视在功率相加，并不一定等于两个负载整体的视在功率，除非两个负载的电压和电流的相位差一致，或两个负载具有相同的[[功率因数]]。
+尽管无功功率在负载上不[[做功]]，但是对于一个实际系统来说，电流流过[[导线]]时，会使导线发热，部分电能因此会损失掉，因此电力工程师需要关心视在功率。[[变压器]]和导线都需要按照视在功率的大小设计，而不是有功功率。[[发电机]]和[[不间断电源]]等供電設備需同時考慮视在功率和有功功率。另外，直接将两个负载各自的视在功率相加，并不一定等于两个负载整体的视在功率，除非两个负载的电压和电流的相位差一致，或两个负载具有相同的[[功率因数]]。
-一般认为，电容器产生无功功率，而电感器消耗无功功率。如果将电容器和电感器并联，那么二者的电流会倾向于相互抵消而不是叠加。这是电力系统中进行功率因数校正的一个基本方法。
+根據定義，电容器提供无功功率，而电感器消耗无功功率。因此計算負載時，電阻是正數（代表消耗實功），電感也是正數（代表消耗虛功），电容則是負數（代表提供虛功）。
-[[Image:Cmplxpower.svg|thumb|right|250px|交流电力系统中各个与功率相关的参数在复平面内的表示]]
-交流电力系统中各个与功率相关的参数，以及各自的单位如下所示：
+如果将电容器和电感器并联，那么二者的电流会倾向于相互抵消而不是叠加。这是电力系统中进行功率因数校正的一个基本方法。
-*实际功率'''P'''：[[瓦特]]（W）
+一般慣例，若電流的相位領先電壓的相位，則稱為功率因數領先，反之則稱為功率因數落後。例如，複數功率 S = 800 + j600 表示 800W 实功、600var 虛功、1000VA 視在功率及功率因數 0.8 落後。
-*无功功率'''Q'''：[[无功伏安]]（VAr）
-*复功率'''S'''：[[伏安]]（VA）
-*视在功率'''|S|'''，即复功率'''S'''的[[模]]或[[绝对值#複數的絕對值|绝对值]]：[[伏安]]（VA）
-*电流-电压相位差'''φ'''
+功率的单位是[[瓦特]]（符号为W），但是一般来说，只有讨论实际功率的时候才会用这个称呼。视在功率的单位一般以'''伏特·安培'''（简称“伏安”，符号为VA）称呼，因为其定义为电流的均方根乘以电压的均方根。无功功率的单位为'''无功伏特·安培'''，简称“无功伏安”，符号为var。
-无功功率并不实际传输能量，所以在图中以[[虚轴]]表示。相应的，实际功率则表示在实轴上。
+==公式==
-功率的单位是[[瓦特]]（符号为W），但是一般来说，只有讨论实际功率的时候才会用这个称呼。视在功率的单位一般以'''伏特·安培'''（简称“伏安”，符号为VA）称呼，因为其定义为电流的均方根乘以电压的均方根。无功功率的单位为'''无功伏特·安培'''，简称“无功伏安”，符号为VAr。
+交流電功率可以用[[实數]]或[[複數]]的方式表示。一般而言，在[[物理學]]及科學研究中通常使用实數計算電功率，並以[[弧度]]作為相角的單位。在[[電機工程]]學中，會按需要使用实數或複數，相角也可採用角度或弧度表示。
+===实數===
-虽然无功功率不传递能量，但是对维持输电系统的电压有一部分作用。[[2003年美加大停电]]的一个原因便是无功功率不足。
+各个与功率相关的参数，以及各自的单位如下所示<ref>《Electric Circuits》10th edition by James W. Nilsson & Susan A. Riedel (2014)</ref>：
+*有功功率、平均功率或实功率 P：[[瓦特]]（W）
+*无功功率或虛功率 Q：[[无功伏安]]（var）
+*电压-电流相位差或功率角（power angle） <math> \theta = \theta_v - \theta_i </math>：[[角度]]（°）或[[弧度]]（rad）
+*视在功率 S：[[伏安]]（VA）
+*功率因數（power factor）：無單位
+交流電訊號為弦波訊號，其電壓可寫成 <math> v(t) = V_m\,\cos(\omega t + \theta_v) </math>，電流可寫成 <math> i(t) = I_m\,\cos(\omega t + \theta_i) </math>
+;瞬時功率
+:<math> p(t)= v(t)\,i(t)</math><math>=\frac{V_m I_m}{2} \cos\,\theta\,(1 + \cos\,2\omega t) - \frac{V_m I_m}{2} \sin\,\theta\,\sin\,2\omega t </math><math>= \frac{V_m I_m}{2} \cos\,\theta + \frac{V_m I_m}{2} \cos\,(\theta + 2 \omega t) </math> <math>= P + |S|\,\cos\,(\theta + 2 \omega t) </math>
+:以上可得瞬時功率的頻率為電壓或電流的兩倍，平均瞬時功率為 <math> P </math>，最大瞬時功率為 <math> P + |S| </math>，最小瞬時功率為 <math> P - |S| </math>。
+;视在功率
+: <math>S = V\,I  = \sqrt{P^2+Q^2}</math>
+;功率因數
+: <math> pf = \frac{P}{S} = \cos\,\theta </math>
+; 阻抗
+: <math>Z = \sqrt{ R^2 + X^2 }</math>
+: <math> V = I Z </math>
+===複數===
+在[[電機工程]]中，電流通常標記為<math>i(t)</math>或簡寫為<math>i</math>。為免與電流混淆，[[虛數單位]]改用i之後的英文字母j，且虛數單位標記於數字前。
+: <math>j^2 = -1</math>
+;複數功率
+: <math>|S|=\sqrt{P^2+Q^2}</math>
+: <math> S = VI^* = P+jQ </math>
+: <math> S = I^2 Z = \frac{V^2}{Z^*} </math>
+;功率因數
+: <math> pf = \frac{P}{|S|} = \cos\,\theta </math>
+; 阻抗
+: <math> Z = R + jX </math>
+: <math> V = I Z </math>
+相比实數版公式，複數版公式的最大差別在於，計算功率時必須取電流的[[共轭复数|共軛]]，原因是相差的定義是電壓相角減電流相角。
+:<math> V = V_{pk} \angle \theta_v</math>
+:<math> I = I_{pk} \angle \theta_i</math>
+:<math> S = V_{pk} I_{pk} \angle (\theta_v - \theta_i) = V I^*</math>
+== 参见 ==
+* [[乏爾]]（無功伏安）
+* [[功率因數]]
+* [[电流战争]]
+* [[输电系统]]
+* [[变压器]]
+== 參考資料 ==
+<references/>
+[[Category:電學]]