康托尔悖论：修订间差异

删除的内容添加的内容

行内

2023年8月22日 (二) 23:13的最新版本

在数学中，康托尔悖论是集合论的一个定理，即没有最大的基数，所以“无限大小”的搜集自身是无限的。进一步的，从这个事实得出这个搜集不是集合而是真类；在von Neumann-Bernays-Gödel集合论中从这个事实得出大小限制公理，即这个真类和所有集合的集合之間存在雙射。所以，不只是有无限多个无限，而是这个无限大于无限的任何枚举。

这个悖论以德國數學家格奥尔格·康托尔命名，他在1899年（或在1895年到1897年之间）首先提出了它。像多数数学悖论一样，它实际上不是矛盾，而是在关于无限本质和集合概念的情况下错误直觉的体现。换个方式说，它在朴素集合论中的确是悖论，從而证实了这个理论对数学發展的需要是不充足的。在其後的各個公理化集合論中，這個悖論已經被解決。

陈述和证明

为了陈述这个悖论必须理解容许排序的基数，因此你可以谈论一个事物大于或小于另一个。则康托尔悖论是：

定理:没有最大的基数。

这个事实上是康托尔定理的直接结论，該定理的內容是关于一个集合的幂集的势。

证明: 假定相反情况，并设 C 为最大基数。则（在冯·诺伊曼基数指派中）C 是一个集合因此有幂集 2^C，通过康托尔定理，它有严格的大于 C 的势。但根據定义 C 的势已經是最大的了，所以得出矛盾。因此，不存在最大的基数。

参见 A. Garciadiego 的《BERTRAND RUSSELL AND THE ORIGINS OF THE SET-THEORETIC 'PARADOXES》，其中包括了这不是悖论和康托尔不认为这是悖论的有關探討。

讨论和结论

因为基数是通过序数标定（indexing）而是良序的，（参见基数 (数学) § 基數序列及連續統假設），这也确立了没有最大序数；反过来，后者陈述蕴涵了康托尔悖论。通过应用这个标定到布拉利-福尔蒂悖论，我们还總結出基数们是真类而不是集合，而（至少在 von Neumann-Bernays-Gödel 集合论中）由此可知，存在基数的类和所有集合的类之间的双射。因为所有集合是后者这个类的子集，而所有势都是一个集合的势（根據定义），直觉上這就是說基数的搜集的“势”大于任何集合的势：它比任何真无穷更加无穷。这是康托尔悖论的悖论本质。

历史注释

尽管通常认定康托尔是第一个提出基数集合的这个性质的人，有些数学家认為这个贡献是伯兰特·罗素做出的，他在1899年或1901年定义了类似的定理。

参见

參考文獻

Anellis, I.H. Drucker, Thomas , 编. "The first Russell paradox," Perspectives on the History of Mathematical Logic. Cambridge, Mass.: Birkäuser Boston. 1991: 33-46.
Moore, G.H. and Garciadiego, A. Burali-Forti's paradox: a reappraisal of its origins. Historia Math: 319–350.

外部链接

@@ 第1行： / 第1行： @@
-在[[数学]]中，'''康拖尔悖论'''是[[集合论]]的一个定理，即没有最大的[[基数]]，所以“无限大小”的搜集自身是无限的。进一步的，从这个事实得出这个搜集不是集合而是[[真类]]；在 [[von Neumann-Bernays-Gödel 集合论]]中从这个事实得出大小限制公理，即这个真类必定双射于所有集合的集合。所以，不只是有无限多个无限，而是这个无限大于无限的任何枚举。
+在[[数学]]中，'''康托尔悖论'''是[[集合论]]的一个定理，即没有最大的[[基数 (数学)|基数]]，所以“无限大小”的搜集自身是无限的。进一步的，从这个事实得出这个搜集不是集合而是[[真类]]；在[[冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论|von Neumann-Bernays-Gödel集合论]]中从这个事实得出大小限制公理，即这个真类和所有集合的集合之間存在雙射。所以，不只是有无限多个无限，而是这个无限大于无限的任何枚举。
-这个悖论命名以[[康拖尔]]，他在在1899年(或在1895年到1897年之间)首先提出了它。象多数数学悖论一样它实际上不是矛盾，而是在关于无限本质和集合概念的情况下错误直觉的体现。换个方式说，它在[[朴素集合论]]中的确是悖论并证实了这个理论对数学需要是不充足的。NBG 集合论解决了这个悖论使它适合作为替代者。
+这个悖论以德國數學家[[格奥尔格·康托尔]]命名，他在1899年（或在1895年到1897年之间）首先提出了它。像多数数学悖论一样，它实际上不是矛盾，而是在关于无限本质和集合概念的情况下错误直觉的体现。换个方式说，它在[[朴素集合论]]中的确是悖论，從而证实了这个理论对数学發展的需要是不充足的。在其後的各個公理化集合論中，這個悖論已經被解決。
 ==陈述和证明==
-为了陈述这个悖论必须理解接纳排序的基数，因此你可以谈论一个事物大于或小于另一个。则康拖尔悖论是:
+为了陈述这个悖论必须理解容许[[序理论|排序]]的基数，因此你可以谈论一个事物大于或小于另一个。则康托尔悖论是：
 :'''定理:'''没有最大的基数。
-这个事实上是关于一个集合的[[幂集]]的势的[[康拖尔定理]]的直接结论。
+这个事实上是[[康托尔定理]]的直接结论，該定理的內容是关于一个集合的[[幂集]]的势。
-:'''证明:''' 将定相反情况，并设 ''C'' 为最大基数。则(在冯·诺伊曼基数公式化中) ''C'' 是一个集合因此有幂集 ''2<sup>C</sup>''通过康拖尔定理，它有严格的大于 ''C'' 的势。但是根据定义 ''C'' 的势是 ''C'' 自身，所以我们展示了一个大于被假定为最大基数的 ''C'' 的势(就是 ''2<sup>C</sup>'')。有这个矛盾达成了这样的基数不存在。
+:'''证明:''' 假定相反情况，并设 ''C'' 为最大基数。则（在冯·诺伊曼基数指派中）''C'' 是一个集合因此有幂集 ''2<sup>C</sup>''，通过康托尔定理，它有严格的大于 ''C'' 的势。但根據定义 ''C'' 的势已經是最大的了，所以得出矛盾。因此，不存在最大的基数。
-参见 A. Garciadiego 的《BERTRAND RUSSELL AND THE ORIGINS OF THE SET-THEORETIC 'PARADOXES》，其中讨论了这不是悖论和康拖尔不认为这是悖论的想法。
+参见 A. Garciadiego 的《BERTRAND RUSSELL AND THE ORIGINS OF THE SET-THEORETIC 'PARADOXES》，其中包括了这不是悖论和康托尔不认为这是悖论的有關探討。
 ==讨论和结论==
-因为基数是通过[[序数]]标定(indexing)而是良序的，(参见[[基数|基数的形式定义]])，这也确立了没有最大序数；反过来，后者陈述蕴涵了康托尔悖论。通过应用这个标定到 [[Burali-Forti悖论]]我们还结论出基数是[[真类]]而不是集合，而(至少在 [[von Neumann-Bernays-Gödel 集合论]]中)从它得出没有在基数的类和所有集合的类之间的双射。因为所有集合是后者这个类的的子集，而所有势都是一个集合的势(通过定义!)这直觉的意味着基数的搜集的“势”大于任何集合的势: 它比任何真无穷更加无穷。这是康拖尔悖论的悖论本质。
+因为基数是通过[[序数]]标定（indexing）而是良序的，（参见{{section link|基数 (数学)#基數序列及連續統假設}}），这也确立了没有最大序数；反过来，后者陈述蕴涵了康托尔悖论。通过应用这个标定到[[布拉利-福尔蒂悖论]]，我们还總結出基数们是[[真类]]而不是集合，而（至少在 [[冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论|von Neumann-Bernays-Gödel 集合论]]中）由此可知，存在基数的类和所有集合的类之间的双射。因为所有集合是后者这个类的子集，而所有势都是一个集合的势（根據定义），直觉上這就是說基数的搜集的“势”大于任何集合的势：它比任何真无穷更加无穷。这是康托尔悖论的悖论本质。
 == 历史注释 ==
-尽管通常认定康拖尔是第一个提出基数集合的这个性质的人，有些数学家认定这个贡献是[[伯兰特·罗素]]做出的，他在1899年或1901年定义了类似的定理。
+尽管通常认定康托尔是第一个提出基数集合的这个性质的人，有些数学家认為这个贡献是[[伯兰特·罗素]]做出的，他在1899年或1901年定义了类似的定理。
-== 来源 ==
+==参见==
+*[[布拉利-福尔蒂悖论]]
+*[[康托尔定理]]
+*[[基数 (数学)|基数]]
+*[[冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论|von Neumann-Bernays-Gödel 集合论]]
+==參考文獻==
+{{refbegin}}
 * {{cite book
     | author=Anellis, I.H.
     | title="The first Russell paradox," Perspectives on the History of Mathematical Logic
+    | url=https://archive.org/details/perspectivesonhi00druc_709
     | editor=Drucker, Thomas
     | publisher=Birkäuser Boston
     | location=Cambridge, Mass.
     | year=1991
-    | pages=33-46}}
+    | pages=[https://archive.org/details/perspectivesonhi00druc_709/page/n55 33]-46}}
 * {{cite journal
     | author=Moore, G.H. and Garciadiego, A.
@@ 第34行： / 第42行： @@
     | volume=8
     | pages=319-350}}
+{{refend}}
-==参见==
-* [[Burali-Forti悖论]]
-* [[康拖尔定理]]
-* [[基数]]
-* [[von Neumann-Bernays-Gödel 集合论]]
 == 外部链接 ==
+*[https://web.archive.org/web/20060911144922/http://www.u.arizona.edu/~miller/finalreport/node3.html An Historical Account of Set-Theoretic Antinomies Caused by the Axiom of Abstraction Justin T Miller]
+*http://planetmath.org/encyclopedia/CantorsParadox.html {{Wayback|url=http://planetmath.org/encyclopedia/CantorsParadox.html |date=20051211160822 }}
+{{数理逻辑}}
-* [http://www.u.arizona.edu/~miller/finalreport/node3.html An Historical Account of Set-Theoretic Antinomies Caused by the Axiom of Abstraction Justin T Miller]
-* http://planetmath.org/encyclopedia/CantorsParadox.html
-[[Category:集合论]]
-[[Category:悖论]]
-[[cs:Cantorův paradox]]
+[[Category:集合论悖论|Cantor's paradox]]
+[[Category:基数|C]]
-[[en:Cantor's paradox]]
-[[it:Paradosso di Cantor]]
-[[ru:Парадокс Кантора]]