当且仅当：修订间差异

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当且仅当的逻辑符号

当且仅当（英語：if and only if，iff），在數位邏輯中，逻辑算符反互斥或閘（英語：Exclusive NOR）是对两个运算元的一种邏輯分析类型，符号为XNOR或ENOR或 $\Leftrightarrow$ 。与一般的邏輯或非NOR不同，當兩兩數值相同為是，而數值不同時為否。在数学、哲学、逻辑学以及其他一些技术性领域中被用来表示“在这个条件成立，并且仅在这个条件成立时”之意。当命题 $p,q$ 满足“当 $p$ 则 $q$ ”且“仅当 $p$ 则 $q$ ”时，称为“当且仅当 $p$ 则 $q$ ”，其他等价的说法有“ $q$ 当且仅当 $p$ ^{[註 1]}”；“ $p$ 是 $q$ 的充分必要条件（充要條件）”；“ $p$ 等价于 $q$ ”。

一般而言，當我們看到“当且仅当 $p$ 则 $q$ ”，我們可以知道“如果 $p$ 成立時，則 $q$ 一定成立；如果 $q$ 成立時，則 $p$ 也一定成立”；“如果 $p$ 不成立時，則 $q$ 一定不成立；如果 $q$ 不成立時，則 $p$ 也一定不成立”。

当且仅当

标记

与此相对应的逻辑符号是 $\leftrightarrow$ 和 $\Leftrightarrow$ 。这两个通常被当作是相等的。但是，一些数学教科书，特别是那些关于一阶逻辑而非命题逻辑对此有所区别，在那里前者被用来表示逻辑公式，后者表示那些公式的推理（譬如说在元逻辑中）。

证明

设 $p$ 与 $q$ 為两命题，在证明“当且仅当 $p$ 则 $q$ ”时，这相当于去同时证明陈述“如果 $p$ 成立，则 $q$ 成立”和“如果 $q$ 成立，则 $p$ 成立”。另外，也可以证明“如果 $p$ 成立，则 $q$ 成立”和“如果 $p$ 不成立，则 $q$ 不成立”，后者作为对偶，等价于“如果 $q$ 成立，则 $p$ 成立”。

有关英语缩写iff的开端

在出版物中，英语iff的表示标记最早出现在约翰·L·凯利的《一般拓扑学》中。它的发明通常被认为是归于数学家保罗·哈尔莫斯，但在哈尔莫斯的自传中却声明该标记另有出处，他只是首先在数学领域使用^[1]。

“当”与“当且仅当”

简单地，如下的两个例子可以说明这两者的不同：

当冰淇淋是香草口味的，小王会吃。
換言之：如果冰淇淋是香草口味的，那么小王一定会吃。
当且仅当冰淇淋是香草口味的，小王会吃。
換言之：如果冰淇淋是香草口味的，那么小王一定会吃；且如果小王有吃冰淇淋，那么冰淇淋一定是香草口味的。

第1句指小王一定会吃香草口味的冰淇淋，但没有排除他会吃香草口味以外冰淇淋的可能性，能肯定的是他不会拒绝香草口味的冰淇淋。

第2句指小王一定吃且只吃香草口味的，他不会吃其它口味的冰淇淋。

进一步的思考

用「当且仅当」连接两个句子造成的句子被称为是“双条件句”。“当且仅当”把两个句子结合成新的句子。它不应该跟描述两个句子之间关系的“逻辑等价”混淆。

双条件句“当且仅当 $p$ 则 $q$ ”，是用 $p$ 和 $q$ 来陈述 $p$ 和 $q$ 所描述的事件状况之间的关系。

相对照的，“ $p$ 逻辑等价于 $q$ ”则注重两个句子：它只是陈述两个句子之间的关系，而不是它们所介绍的什么事情。

这里的区别非常容易混淆，已经使得很多哲学家迷惑。当然，在“ $p$ 逻辑等价于 $q$ ”时，“当且仅当 $p$ 则 $q$ ”为真，但是它的逆并不成立。让我们重新考虑上面的句子：

当且仅当冰淇淋是香草口味，则小王会吃这个冰淇淋。

很清楚，对于这个特定的双条件句，两个半句之间并没有逻辑等价。^[2]

在哲学和逻辑学中，“当且仅当”通常用作定义，因为定义被认为是全称量化的双条件句。但在数学中，相比起“当且仅当”，如果通常被用于定义。这里给出一些使用到“当且仅当的”真陈述，也是真双条件句（第一句是一个定义的例子）：

当且仅当一个人是未婚且可结婚的男人，则他是单身男性。
当且仅当 $x=1$ ，则 $x+1=2$ 。
对于任意命题 $p,q,r$ ，当且仅当 $(p\land q)\land r$ ，则 $p\land (q\land r)$ 。

更一般的用法

“当且仅当”在逻辑领域以外，在数学出版物或者普通的谈话中也会用到。如同上面所说，它指的是某个陈述是另外一个的充分必要条件。这是一个数学术语的例子。

注解

^ 直譯自q if and only if p，並不符合漢語語法。

参考文献

^ Nicholas J. Higham. Handbook of writing for the mathematical sciences 2nd. SIAM. 1998: 24 [2012-09-28]. ISBN 978-0-89871-420-3. （原始内容存档于2013-06-06）.
^ Quine, W. V. 《數理邏輯，第5節》.

参见

[1] 直譯自q if and only if p，並不符合漢語語法。

[Higham1998-2] Nicholas J. Higham. Handbook of writing for the mathematical sciences 2nd. SIAM. 1998: 24 [2012-09-28]. ISBN 978-0-89871-420-3. （原始内容存档于2013-06-06）.

[3] Quine, W. V. 《數理邏輯，第5節》.

[註 1]

[1]

[2]

@@ 第1行： / 第1行： @@
+{{Refimprove|time=2020-09-19T11:31:42+00:00}}
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 |G1 = IT
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+'''当且仅当'''（{{lang-en|if and only if}}，{{lang|en|iff}}），在數位邏輯中，[[逻辑运算符|逻辑算符]]'''[[反互斥或閘]]'''（{{lang-en|Exclusive NOR}}）是对两个[[运算元]]的一种[[逻辑或|邏輯分析]]类型，符号为'''XNOR'''或'''ENOR'''或<math>\Leftrightarrow</math>。与一般的[[邏輯或非]]NOR不同，當兩兩數值相同為是，而數值不同時為否。在[[数学]]、[[哲学]]、[[逻辑学]]以及其他一些技术性领域中被用来表示“在这个条件成立，并且仅在这个条件成立时”之意。-{zh-tw:若; zh-cn:当; zh-hk:當;}-命题<math>p, q</math>满足“-{zh-tw:若; zh-cn:当; zh-hk:當;}-<math>p</math>则<math>q</math>”且“仅当<math>p</math>则<math>q</math>”时，称为“当且仅当<math>p</math>则<math>q</math>”，其他[[等价关系|等价]]的说法有“<math>q</math>当且仅当<math>p</math>{{NoteTag|直譯自{{lang|en|''q'' if and only if ''p''}}，並不符-{}-合[[漢語語法]]。}}”；“<math>p</math>是<math>q</math>的[[充分必要条件]]（充要條件）”；“<math>p</math>[[等价]]于<math>q</math>”。
-一般而言，當我們看到“当且仅当<math>P</math>则<math>Q</math>”，我們可以知道“如果<math>P</math>成立時，則<math>Q</math>一定成立；如果<math>Q</math>成立時，則<math>P</math>也一定成立”；“如果<math>P</math>不成立時，則<math>Q</math>一定不成立；如果<math>Q</math>不成立時，則<math>P</math>也一定不成立”。
+一般而言，當我們看到“当且仅当<math>p</math>则<math>q</math>”，我們可以知道“如果<math>p</math>成立時，則<math>q</math>一定成立；如果<math>q</math>成立時，則<math>p</math>也一定成立”；“如果<math>p</math>不成立時，則<math>q</math>一定不成立；如果<math>q</math>不成立時，則<math>p</math>也一定不成立”。
 == 当且仅当 ==
 === 标记 ===
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 === 证明 ===
-设<math>P</math>与<math>Q</math>為两[[命题]]，在[[证明论|证明]]“当且仅当<math>P</math>则<math>Q</math>”时，这相当于去同时证明陈述“如果<math>P</math>成立，则<math>Q</math>成立”和“如果<math>Q</math>成立，则<math>P</math>成立”。另外，也可以证明“如果<math>P</math>成立，则<math>Q</math>成立”和“如果<math>P</math>不成立，则<math>Q</math>不成立”，后者作为对偶，等价于“如果<math>Q</math>成立，则<math>P</math>成立”。
+设<math>p</math>与<math>q</math>為两[[命题]]，在[[证明论|证明]]“当且仅当<math>p</math>则<math>q</math>”时，这相当于去同时证明陈述“如果<math>p</math>成立，则<math>q</math>成立”和“如果<math>q</math>成立，则<math>p</math>成立”。另外，也可以证明“如果<math>p</math>成立，则<math>q</math>成立”和“如果<math>p</math>不成立，则<math>q</math>不成立”，后者作为对偶，等价于“如果<math>q</math>成立，则<math>p</math>成立”。
 === 有关英语缩写{{lang|en|iff}}的开端 ===
-在出版物中，英语'''{{lang|en|iff}}'''的表示标记最早出现在[[约翰·L·凯利]]的《一般拓扑学》中。它的发明通常被认为是归于[[数学家]][[保罗·哈尔莫斯]]，但在哈尔莫斯的自传中却声明该标记另有出处，他只是首先在数学领域使用<ref name="Higham1998">{{cite book|author=Nicholas J. Higham|title=Handbook of writing for the mathematical sciences|url=http://books.google.com/books?id=9gQd2fJA7Y4C&pg=PA24|year=1998|publisher=SIAM|isbn=978-0-89871-420-3|page=24|edition=2nd}}</ref>。
+在出版物中，英语'''{{lang|en|iff}}'''的表示标记最早出现在[[约翰·L·凯利]]的《一般拓扑学》中。它的发明通常被认为是归于[[数学家]][[保罗·哈尔莫斯]]，但在哈尔莫斯的自传中却声明该标记另有出处，他只是首先在数学领域使用<ref name="Higham1998">{{cite book|author=Nicholas J. Higham|title=Handbook of writing for the mathematical sciences|url=http://books.google.com/books?id=9gQd2fJA7Y4C&pg=PA24|year=1998|publisher=SIAM|isbn=978-0-89871-420-3|page=24|edition=2nd|access-date=2012-09-28|archive-date=2013-06-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20130606201112/http://books.google.com/books?id=9gQd2fJA7Y4C&pg=PA24|dead-url=no}}</ref>。
 == “-{zh-tw:若; zh-cn:当; zh-hk:當;}-”与“当且仅当” ==
 简单地，如下的两个例子可以说明这两者的不同：
-# '''-{zh-tw:若; zh-cn:当; zh-hk:當;}-'''冰淇淋是香草口味的，则小王会吃这个冰淇淋。（这等于说：如果冰淇淋是香草口味的，那么-{}-小王会吃这个冰淇淋。）
+# '''-{zh-tw:若; zh-cn:当; zh-hk:當;}-'''[[冰淇淋]]是[[香草冰淇淋|香草口味的]]，小王会吃。
+#:換言之：如果冰淇淋是香草口味的，那么-{}-小王一定会吃。
-# '''当且仅当'''冰淇淋是香草口味，则小王会吃这个冰淇淋。（这等于说：如果冰淇淋是香草口味的，那么-{}-小王会吃这个冰淇淋；并且，如果小王吃冰淇淋，那么这个冰淇淋就是香草口味的。）
+# '''当且仅当'''冰淇淋是香草口味的，小王会吃。
+#:換言之：如果冰淇淋是香草口味的，那么-{}-小王一定会吃；且如果小王有吃冰淇淋，那么冰淇淋一定是香草口味的。
-第1句指小王会吃香草口味的冰淇淋，并没有排除他会吃[[香草]]以外口味冰淇淋的可能性，能肯定的是他不会拒绝香草口味的冰淇淋。
+第1句指小王一定会吃香草口味的冰淇淋，但没有排除他会吃香草口味以外冰淇淋的可能性，能肯定的是他不会拒绝香草口味的冰淇淋。
-第2句指小王'''会吃且只吃'''香草口味的冰淇淋，他不会吃任何其它口味的冰淇淋。
+第2句指小王'''一定吃且只吃'''香草口味的，他不会吃其它口味的冰淇淋。
 == 进一步的思考 ==
 用「当且仅当」连接两个句子造成的句子被称为是“双条件句”。“当且仅当”把两个句子结合成新的句子。它不应该跟描述两个句子之间关系的“[[逻辑等价]]”混淆。
-双条件句“当且仅当<math>P</math>则<math>Q</math>”，是用<math>P</math>和<math>Q</math>来陈述<math>P</math>和<math>Q</math>所描述的事件状况之间的关系。
+双条件句“当且仅当<math>p</math>则<math>q</math>”，是用<math>p</math>和<math>q</math>来陈述<math>p</math>和<math>q</math>所描述的事件状况之间的关系。
-相对照的，“<math>P</math>逻辑等价于<math>Q</math>”则注重两个句子：它只是陈述两个句子之间的关系，而不是它们所介绍的什么事情。
+相对照的，“<math>p</math>逻辑等价于<math>q</math>”则注重两个句子：它只是陈述两个句子之间的关系，而不是它们所介绍的什么事情。
-这里的区别非常容易混淆，已经使得很多哲学家迷惑。当然，在“<math>P</math>逻辑等价于<math>Q</math>”时，“当且仅当<math>P</math>则<math>Q</math>”为真，但是它的逆并不成立。让我们重新考虑上面的句子：
+这里的区别非常容易混淆，已经使得很多哲学家迷惑。当然，在“<math>p</math>逻辑等价于<math>q</math>”时，“当且仅当<math>p</math>则<math>q</math>”为真，但是它的逆并不成立。让我们重新考虑上面的句子：
 * 当且仅当冰淇淋是香草口味，则小王会吃这个冰淇淋。
-很清楚，对于这个特定的双条件句，两个半句之间并没有逻辑等价。如想了解更多的差异，请参照W. V. Quine的《数理逻辑，第5节》。
+很清楚，对于这个特定的双条件句，两个半句之间并没有逻辑等价。<ref>{{Cite book|title=《數理邏輯，第5節》|last=Quine|first=W. V.}}</ref>
 在哲学和逻辑学中，“当且仅当”通常用作[[定义]]，因为定义被认为是[[全称量化]]的双条件句。但在数学中，相比起“当且仅当”，''如果''通常被用于定义。这里给出一些使用到“当且仅当的”真陈述，也是真双条件句（第一句是一个定义的例子）：
@@ 第50行： / 第52行： @@
 * 当且仅当一个人是未婚且可结婚的男人，则他是单身男性。
 * 当且仅当<math>x=1</math>，则<math>x+1=2</math>。
-* 对于任意命题<math>P, Q, R</math>，当且仅当<math>(P \and Q) \and R</math>，则<math>P \and (Q \and R)</math>。
+* 对于任意命题<math>p, q, r</math>，当且仅当<math>(p \land q) \land r</math>，则<math>p \land (q \land r)</math>。
 == 更一般的用法 ==
-“当且仅当”在逻辑领域以外，如同在数学出版物或者普通的谈话中都会用到。如同上面所说，它指的是某个陈述是另外一个的充分必要条件。这是一个数学术语的例子。
+“当且仅当”在逻辑领域以外，在数学出版物或者普通的谈话中也会用到。如同上面所说，它指的是某个陈述是另外一个的充分必要条件。这是一个数学术语的例子。
 == 注解 ==

查论编逻辑联结词
恆真（ $\top$ ）
与非（ $\uparrow$ ）反蕴涵（ $\leftarrow$ ）蕴涵（ $\rightarrow$ ）或（ $\lor$ ）
非（ $\neg$ ）异或（ $\oplus$ ）双条件（ $\leftrightarrow$ ）命题
或非（ $\downarrow$ ）非蕴涵（ $\nrightarrow$ ）反非蕴涵（ $\nleftarrow$ ）与（ $\land$ ）
恆假（ $\bot$ ）