二面體群

雪花有正六邊形的二面體對稱。

在數學中，二面體群 $D_{2n}$ 是正 $n$ 邊形的對稱群，具有 $2n$ 個元素。某些書上則記為 $D_{n}$。除了 $n=2$ 的情形外，$D_{2n}$ 都是非交換群。

生成元與關係

抽象言之，首先考慮 $n$ 階循環群 $C_{n}$。反射 $\tau :x\mapsto x^{-1}$ 是 $C_{n}$ 上的自同構，而且 $\tau ^{2}=\mathrm {id} .$。定義二面體群為半直積

$D_{2n}:=C_{n}\rtimes \{e,\tau \}$

任取 $C_{n}$ 的生成元 $\sigma$，$D_{2n}$ 由 $\sigma ,\tau$ 生成，其間的關係是

$\sigma ^{n}=e,\tau ^{2}=e,(\tau \sigma \tau )^{-1}\sigma =e$

$D_{2n}$ 的元素均可唯一地表成 $\sigma ^{k}\tau ^{h}$，其中 $0\leq k<n$，$h=0,1$。

幾何詮釋

n=5 的情形：反射對稱

n=5 的情形：旋轉對稱

二面體群也可以詮釋為二維正交群 $O(2)$ 中由

$\sigma :={\begin{pmatrix}\cos {2\pi \over n}&-\sin {2\pi \over n}\\\sin {2\pi \over n}&\cos {2\pi \over n}\end{pmatrix}}$ （旋轉 ${\frac {2\pi }{n}}$ 弧度）

$\tau :={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ （對 x 軸反射）

生成的子群。由此不難看出 $D_{2n}$ 是正 n 邊形的對稱群。

性質

• $D_{2n}$ 的中心在 $n$ 為奇數時是 $\{e\}$，在 $n$ 為偶數時是 $\{e,\sigma ^{n/2}\}$。
• 當 $n$ 為奇數時，$D_{4n}$ 同構於 $D_{2n}$ 與二階循環群的直積。同構可由下式給出：

$\sigma ^{k+\epsilon n}\tau ^{h}\mapsto (\sigma ^{k}\tau ^{h},\epsilon )$

其中 $h,\epsilon =0,1$，$0\leq k<n$。

• 當 $n$ 為奇數時，$D_{2n}$ 的所有反射（即：二階元素）彼此共軛；當 $n$ 為偶數，則反射元在共軛作用下分解成兩個軌道；從幾何方面解釋，二者差意在於反射面是否通過正 $n$ 邊形的頂點。
• 若 $m|n$，則 $D_{2m}\leq D_{2n}$，由此可導出 $D_{2n}$ 共有 $d(n)+\sigma (n)$ 個子群，其中的算術函數 $d(n)$ 與 $\sigma (n)$ 分別代表 $n$ 的正因數個數與正因數之和。

表示

當 $n$ 為奇數時，$D_{n}$ 有兩個一維不可約表示：

$\tau \mapsto (-1)^{k},\;\sigma \mapsto 1\quad (k=0,1)$

當 $n$ 為偶數時，$D_{n}$ 有四個一維不可約表示：

$\tau \mapsto (-1)^{k},\sigma \mapsto (-1)^{h}\quad (k,h=0,1)$

其餘不可約表示皆為二維，共有 $\lfloor n/2\rfloor$ 個，形如下式：

$\sigma \mapsto {\begin{pmatrix}\omega ^{h}&0\\0&\omega ^{-h}\end{pmatrix}}\;\tau \mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}$

其中 $\omega$ 是任一 n 次本原單位根，$h$ 過 $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$。由 $h_{1},h_{2}$ 給出的表示相等價若且唯若 $h_{1}+h_{2}\equiv 0\mod n$。