計算機代數系統

計算機代數系統（英文：Computer Algebra System，簡稱 CAS）是進行符號運算的軟件。這種系統的要件是數學表示式的符號運算。

表示式的類別

表示式的例子包括：

• 多變元多項式
• 標準函數（三角函數、指數函數等等）
• 特殊函數（Γ函數、Bessel函數等等）
• 由各種表示式合成的函數
• 表示式的導函數、積分、和與積
• 以表示式為係數的級數
• 表示式構成的矩陣

符號運算

以下是幾種典型的符號運算：

• 表示式的簡化
• 對表示式求值
• 表示式的變形：展開、積、冪次、部份分式表法、將三角函數表為指數函數等等。
• 對單變元或多變元的微分。
• 帶條件或不帶條件的整體最佳化。
• 部份或完整的因式分解。
• 求解線性方程組或一些非線性方程式。
• 某類微分方程或差分方程的符號解。
• 求某些函數的極限值。
• 一些函數的定積分或不定基分，包括多變元的情形。
• 泰勒展開式、羅朗展開式與 Puiseux 展開式
• 某些函數的無窮級數展開式。
• 對某些級數求和。
• 矩陣運算。
• 數學式的顯示，通常藉著 TeX 之類的系統達成。

其它功能

通常計算機代數系統還能進行一些數值運算：

• 函數的確切求值。
• 高精度求值，例如計算 $2^{1/3}$ 到小數點後 $10000$ 位。
• 線性代數的數值運算。
• 描繪二維或三維的函數圖形。

在數值運算方面，計算機代數系統的速度通常較 Matlab、GNU Octave或C語言中以同等方式實作的程式慢。這是因為計算機系統幾乎總是對符號表示式運算，故不能充分利用CPU的既有指令。

許多計算機代數系統內建高階程式語言，以供使用者擴充功能，或設置個人的操作模式。

歷史

马丁纽斯·韦尔特曼 (Martinus J. G. Veltman) 是這個領域的先驅，他首先考慮了在高能物理中的應用。他在1963年設計的第一個程式叫 Schoonship （荷蘭文，意指「乾淨的船」）。

最早受到歡迎的系統是 Reduce、Derive 與 Macsyma，現在仍然可取得。Macsyma 的一個GNU通用公共許可證發行的版本叫作 Maxima，現在仍有維護。市場的龍頭為 Maple 與 Mathematica，兩者被數學家、科學家及工程師們廣泛採用，此外還有 MuPAD 與 MathCad。

另有一些系統著眼於特定的應用領域，這些系統通常在學院中被設計、發展及維護，例如交換代數系統 Macaulay 2 或數論系統 PARI/GP。

幾種計算機代數系統

• Mathematica
• Maple
• Maxima
• Meditor
• MuPAD
• Mathomatic
• MAGMA
• Xcas / Giac
• Yacas
• Mate

文獻

• Richard J. Fateman. Essays in algebraic simplification. Technical report MIT-LCS-TR-095, 1972.