范数

擁有不同範數的單位圓

範數，是具有“长度”概念的函數。在線性代數、泛函分析及相關的數學領域，是一個函數，其為向量空間內的所有向量賦予非零的正長度或大小。半範數反而可以為非零的向量賦予零長度。

舉一個簡單的例子，一個二維度的歐氏幾何空間 $\mathbb {R} ^{2}$ 就有歐氏範數。在這個向量空間（譬如：(3,7)）的元素常常在笛卡兒座標系統被畫成一個從原點出發的箭號。每一個向量的歐氏範數就是箭號的長度。

擁有範數的向量空間就是賦範向量空間。同樣，擁有半範數的向量空間就是賦半範向量空間。

定義

假設V是域F上的向量空間 ；V的半範數是一個函數 $p:V\to \mathbb {R} ;x\mapsto {}p(x)$ ，满足:

∀a ∈ F, ∀ u,v ∈V,

1. p(v) ≥ 0 (正值性)
2. p(a v) = |a| p(v), (正值齊次性)
3. p(u + v) ≤ p(u) + p(v) (三角不等式).

範數是一個半範數加上額外性质:

p(v) 是零向量 ,当且仅当v 是零向量 (正定性)

如果拓撲向量空間的拓撲可以被範數導出，這個拓撲向量空間被稱為賦範向量空間。

參見

• 內積
• 賦範向量空間
• 矩陣範數
• 曼哈頓距離