理查德森外推法

数值分析中，理查德森外推法(Richardson extrapolation)用以改善级数序列收敛效率，它是在20世纪前期由英国数学家，物理学家，气象学家Lewis Fry Richardson提出的。在数值分析领域，Richardson外推法有很多实际应用，如Romberg's method，是在梯形公式的基础上应用Richardson外推法导出的；还有用于求解常微分方程的Bulirsch–Stoer算法。

推导

假定某一函数$D$可数值近似（离散化）为$D\left(h\right)$，其中$h$为步长，

$D=D\left(h\right)+ah^{p}+bh^{q}+\ldots$ （1）

其中$p$为首项阶数，$q$下一项阶数, 满足$q>p$。

考虑该函数又可以使用同样的数值近似方法，以步长为$h_{2}$做离散近似

$D=D\left(h_{2}\right)+ah_{2}^{p}+bh_{2}^{q}+\ldots$ （2）

如果希望消掉式(1)中的$h^{p}$项，我们可以对以上两式相减，即(1)$-r$(2)，其中$r=\left({\frac {h}{h_{2}}}\right)^{p}$：

$\left(1-r\right)D=D\left(h\right)+ah^{p}+bh^{q}-rD\left(h_{2}\right)-rah_{2}^{p}-rbh_{2}^{q}+\ldots =D\left(h\right)-rD\left(h_{2}\right)+a\underbrace {\left(h^{p}-rh_{2}^{p}\right)} _{0}+b\left(h^{q}-rh_{2}^{q}\right)$

$\left(1-r\right)D=D\left(h\right)-rD\left(h_{2}\right)+b\left(h^{q}-rh_{2}^{q}\right)$

$D={\frac {D\left(h\right)-rD\left(h_{2}\right)}{1-r}}+{\frac {b\left(h^{q}-rh_{2}^{q}\right)}{1-r}}={\frac {D\left(h\right)-rD\left(h_{2}\right)}{1-r}}+{\frac {b\left(1-r{\frac {h_{2}^{q}}{h^{q}}}\right)h^{q}}{1-r}}$

$D={\frac {D\left(h\right)-rD\left(h_{2}\right)}{1-r}}+{\frac {b\left(1-\left({\frac {h}{h_{2}}}\right)^{p}\left({\frac {h_{2}}{h}}\right)^{q}\right)h^{q}}{1-r}}=\underbrace {\frac {D\left(h\right)-rD\left(h_{2}\right)}{1-r}} _{D^{\ast }\left(h\right)}+\underbrace {\frac {b\left(1-\left({\frac {h_{2}}{h}}\right)^{q-p}\right)}{1-r}} _{b^{\ast }}h^{q}$

或简记作：

$\therefore D=D^{\ast }\left(h\right)+b^{\ast }h^{q}$

$D^{\ast }(h)$代替了$D(h)$，为$D$的新的数值近似。新近似相比最初形式具有更高阶的误差项，数值精度由此提高，此方法即为理查德森外推法。

示例

应用理查德森方法，改善用于近似微分的中心差分公式

$f'\left(x_{n}\right)={\underset {D\left(h\right)}{\underbrace {\frac {f\left(x_{n}+h\right)-f\left(x_{n}-h\right)}{2h}} }}-{\underset {a}{\underbrace {\frac {f'''\left(x_{n}\right)}{6}} }}h^{2}-{\underset {b}{\underbrace {\frac {f^{\left(5\right)}\left(x_{n}\right)}{120}} }}h^{4}$

则由式(1)可知$p=2,q=4$, $h_{2}=2h,r=\left({\frac {1}{2}}\right)^{p}={\frac {1}{4}}$ 代入公式：

$D^{\ast }={\frac {D\left(h\right)-rD\left(h_{2}\right)}{1-r}}={\frac {{\frac {f\left(x_{n}+h\right)-f\left(x_{n}-h\right)}{2h}}-{\frac {1}{4}}{\frac {f\left(x_{n}+2h\right)-f\left(x_{n}-2h\right)}{4h}}}{1-{\frac {1}{4}}}}$

$D^{\ast }={\frac {8\left[f\left(x_{n}+h\right)-f\left(x_{n}-h\right)\right]-f\left(x_{n}+2h\right)+f\left(x_{n}-2h\right)}{12h}}$

由此，中心差分公式精度由2阶变为4阶。

参考文献

• Extrapolation Methods. Theory and Practice by C. Brezinski and M. Redivo Zaglia, North-Holland, 1991.

外部链接

• Module for Richardson's Extrapolation, fullerton.edu
• Fundamental Methods of Numerical Extrapolation With Applications, mit.edu
• Richardson-Extrapolation
• Richardson extrapolation on a website of Robert Israel (University of British Columbia)