第24行：
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:<math>tr(S_n) = \sum^n_{i=1} \frac{ [ 2(i-1) ] !}{[(i-1)!]^2} = \sum^{n-1}_{k=0} \frac{ (2k) !}{(k!)^2}</math> （[[OEIS:A006134]]）
:<math>tr(S_n) = \sum^n_{i=1} \frac{ [ 2(i-1) ] !}{[(i-1)!]^2} = \sum^{n-1}_{k=0} \frac{ (2k) !}{(k!)^2}</math> （[[OEIS:A006134]]）
帕斯卡下三角矩阵<math>L_6</math>的[[逆矩阵|逆]]为：<ref name="BP">{{cite web|title=Binomial/Pascalmatrix P|url=http://go.helms-net.de/math/binomial_new/01_1_binomialmatrix.pdf}}</ref>
帕斯卡下三角矩阵<math>L_6</math>的[[逆矩阵|逆]]为：<ref name="BP">{{cite web|title=Binomial/Pascalmatrix P|url=http://go.helms-net.de/math/binomial_new/01_1_binomialmatrix.pdf|access-date=2014-06-15|archive-date=2016-03-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20160303231756/http://go.helms-net.de/math/binomial_new/01_1_binomialmatrix.pdf|dead-url=no }}</ref>
:<math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0\\1 & 4 & 6 & 4 & 1 & 0\\1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1\end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0\\-1 & 3 & -3 & 1 & 0 & 0\\1 & -4 & 6 & -4 & 1 & 0\\-1 & 5 & -10 & 10 & -5 & 1\end{pmatrix}</math>
:<math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0\\1 & 4 & 6 & 4 & 1 & 0\\1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1\end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0\\-1 & 3 & -3 & 1 & 0 & 0\\1 & -4 & 6 & -4 & 1 & 0\\-1 & 5 & -10 & 10 & -5 & 1\end{pmatrix}</math>
第135行：
第135行：
</math>
</math>
映射出正负相间的[[伯努利数]]：<ref>{{cite web|title=Accessing Bernouli-Numbers by Matrix-Operations|url=http://go.helms-net.de/math/binomial/bernoulli_en.pdf}}</ref>
映射出正负相间的[[伯努利数]]：<ref>{{cite web|title=Accessing Bernouli-Numbers by Matrix-Operations|url=http://go.helms-net.de/math/binomial/bernoulli_en.pdf|access-date=2014-06-15|archive-date=2016-03-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20160303172459/http://go.helms-net.de/math/binomial/bernoulli_en.pdf|dead-url=no }}</ref>
:<math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0\\1 & 2 & 1 & 0\\1 & 3 & 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\-1/2\\1/6\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\1/2\\1/6\\0\end{pmatrix}</math>
:<math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0\\1 & 2 & 1 & 0\\1 & 3 & 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\-1/2\\1/6\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\1/2\\1/6\\0\end{pmatrix}</math>
2021年9月26日 (日) 16:46的最新版本
帕斯卡矩阵 是以组合数 为元素的矩阵。
其中
S
n
=
L
n
U
n
{\displaystyle S_{n}=L_{n}U_{n}}
帕斯卡对称矩阵
S
n
{\displaystyle S_{n}}
S
i
j
=
(
i
+
j
−
2
i
−
1
)
{\displaystyle S_{ij}={\binom {i+j-2}{i-1}}}
S
n
{\displaystyle S_{n}}
迹 为：
t
r
(
S
n
)
=
∑
i
=
1
n
[
2
(
i
−
1
)
]
!
[
(
i
−
1
)
!
]
2
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
2
k
)
!
(
k
!
)
2
{\displaystyle tr(S_{n})=\sum _{i=1}^{n}{\frac {[2(i-1)]!}{[(i-1)!]^{2}}}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(2k)!}{(k!)^{2}}}}
OEIS:A006134 ）帕斯卡下三角矩阵
L
6
{\displaystyle L_{6}}
逆 为：[ 1]
(
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
2
1
0
0
0
1
3
3
1
0
0
1
4
6
4
1
0
1
5
10
10
5
1
)
−
1
=
(
1
0
0
0
0
0
−
1
1
0
0
0
0
1
−
2
1
0
0
0
−
1
3
−
3
1
0
0
1
−
4
6
−
4
1
0
−
1
5
−
10
10
−
5
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0\\1&2&1&0&0&0\\1&3&3&1&0&0\\1&4&6&4&1&0\\1&5&10&10&5&1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0\\-1&1&0&0&0&0\\1&-2&1&0&0&0\\-1&3&-3&1&0&0\\1&-4&6&-4&1&0\\-1&5&-10&10&-5&1\end{pmatrix}}}
帕斯卡矩阵可从超对角矩阵 的指数 构造出来：[ 1]
L
7
=
exp
(
[
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
2
.
.
.
.
.
.
.
3
.
.
.
.
.
.
.
4
.
.
.
.
.
.
.
5
.
.
.
.
.
.
.
6
.
]
)
=
[
1
.
.
.
.
.
.
1
1
.
.
.
.
.
1
2
1
.
.
.
.
1
3
3
1
.
.
.
1
4
6
4
1
.
.
1
5
10
10
5
1
.
1
6
15
20
15
6
1
]
;
U
7
=
exp
(
[
.
1
.
.
.
.
.
.
.
2
.
.
.
.
.
.
.
3
.
.
.
.
.
.
.
4
.
.
.
.
.
.
.
5
.
.
.
.
.
.
.
6
.
.
.
.
.
.
.
]
)
=
[
1
1
1
1
1
1
1
.
1
2
3
4
5
6
.
.
1
3
6
10
15
.
.
.
1
4
10
20
.
.
.
.
1
5
15
.
.
.
.
.
1
6
.
.
.
.
.
.
1
]
;
S
7
=
exp
(
[
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
2
.
.
.
.
.
.
.
3
.
.
.
.
.
.
.
4
.
.
.
.
.
.
.
5
.
.
.
.
.
.
.
6
.
]
)
exp
(
[
.
1
.
.
.
.
.
.
.
2
.
.
.
.
.
.
.
3
.
.
.
.
.
.
.
4
.
.
.
.
.
.
.
5
.
.
.
.
.
.
.
6
.
.
.
.
.
.
.
]
)
=
[
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
1
3
6
10
15
21
28
1
4
10
20
35
56
84
1
5
15
35
70
126
210
1
6
21
56
126
252
462
1
7
28
84
210
462
924
]
.
{\displaystyle {\begin{array}{lll}&L_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&2&.&.&.&.&.\\.&.&3&.&.&.&.\\.&.&.&4&.&.&.\\.&.&.&.&5&.&.\\.&.&.&.&.&6&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\1&1&.&.&.&.&.\\1&2&1&.&.&.&.\\1&3&3&1&.&.&.\\1&4&6&4&1&.&.\\1&5&10&10&5&1&.\\1&6&15&20&15&6&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \\\\&U_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&1&.&.&.&.&.\\.&.&2&.&.&.&.\\.&.&.&3&.&.&.\\.&.&.&.&4&.&.\\.&.&.&.&.&5&.\\.&.&.&.&.&.&6\\.&.&.&.&.&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\.&1&2&3&4&5&6\\.&.&1&3&6&10&15\\.&.&.&1&4&10&20\\.&.&.&.&1&5&15\\.&.&.&.&.&1&6\\.&.&.&.&.&.&1\end{smallmatrix}}\right];\\\\&S_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&2&.&.&.&.&.\\.&.&3&.&.&.&.\\.&.&.&4&.&.&.\\.&.&.&.&5&.&.\\.&.&.&.&.&6&.\end{smallmatrix}}\right]\right)\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&1&.&.&.&.&.\\.&.&2&.&.&.&.\\.&.&.&3&.&.&.\\.&.&.&.&4&.&.\\.&.&.&.&.&5&.\\.&.&.&.&.&.&6\\.&.&.&.&.&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5&6&7\\1&3&6&10&15&21&28\\1&4&10&20&35&56&84\\1&5&15&35&70&126&210\\1&6&21&56&126&252&462\\1&7&28&84&210&462&924\end{smallmatrix}}\right].\end{array}}}
映射出正负相间的伯努利数 ：[ 2]
(
1
0
0
0
1
1
0
0
1
2
1
0
1
3
3
1
)
(
1
−
1
/
2
1
/
6
0
)
=
(
1
1
/
2
1
/
6
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&2&1&0\\1&3&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-1/2\\1/6\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1/2\\1/6\\0\end{pmatrix}}}
利用帕斯卡矩阵的逆求解线性方程 与等幂求和 问题，例如：
∑
i
=
1
n
i
3
=
(
C
1
n
C
2
n
C
3
n
C
4
n
)
(
1
0
0
0
−
1
1
0
0
1
−
2
1
0
−
1
3
−
3
1
)
(
1
3
2
3
3
3
4
3
)
=
C
1
n
+
7
C
2
n
+
12
C
3
n
+
6
C
4
n
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}={\begin{pmatrix}C_{1}^{n}&C_{2}^{n}&C_{3}^{n}&C_{4}^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\-1&1&0&0\\1&-2&1&0\\-1&3&-3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1^{3}\\2^{3}\\3^{3}\\4^{3}\end{pmatrix}}=C_{1}^{n}+7C_{2}^{n}+12C_{3}^{n}+6C_{4}^{n}}
![{\displaystyle tr(S_{n})=\sum _{i=1}^{n}{\frac {[2(i-1)]!}{[(i-1)!]^{2}}}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(2k)!}{(k!)^{2}}}}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b3805d685bd09f407737bae1aad29fa4f7ebd2c)
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}&L_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&2&.&.&.&.&.\\.&.&3&.&.&.&.\\.&.&.&4&.&.&.\\.&.&.&.&5&.&.\\.&.&.&.&.&6&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\1&1&.&.&.&.&.\\1&2&1&.&.&.&.\\1&3&3&1&.&.&.\\1&4&6&4&1&.&.\\1&5&10&10&5&1&.\\1&6&15&20&15&6&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \\\\&U_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&1&.&.&.&.&.\\.&.&2&.&.&.&.\\.&.&.&3&.&.&.\\.&.&.&.&4&.&.\\.&.&.&.&.&5&.\\.&.&.&.&.&.&6\\.&.&.&.&.&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\.&1&2&3&4&5&6\\.&.&1&3&6&10&15\\.&.&.&1&4&10&20\\.&.&.&.&1&5&15\\.&.&.&.&.&1&6\\.&.&.&.&.&.&1\end{smallmatrix}}\right];\\\\&S_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&2&.&.&.&.&.\\.&.&3&.&.&.&.\\.&.&.&4&.&.&.\\.&.&.&.&5&.&.\\.&.&.&.&.&6&.\end{smallmatrix}}\right]\right)\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&1&.&.&.&.&.\\.&.&2&.&.&.&.\\.&.&.&3&.&.&.\\.&.&.&.&4&.&.\\.&.&.&.&.&5&.\\.&.&.&.&.&.&6\\.&.&.&.&.&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5&6&7\\1&3&6&10&15&21&28\\1&4&10&20&35&56&84\\1&5&15&35&70&126&210\\1&6&21&56&126&252&462\\1&7&28&84&210&462&924\end{smallmatrix}}\right].\end{array}}}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee49ca7b1839dd723813ae89045f8e8a6f2eb70c)
