椭圆型偏微分方程：修订间差异

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2023年4月6日 (四) 16:33的版本

椭圆型偏微分方程（英語：Elliptic partial differential equation）是一类二阶線性偏微分方程，形式为：

Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}Fu+G=0\,

并满足

B^{2}-AC<0.\

其中 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ , and $G$ 是 $x$ 和 $y$ 的函數， $u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}$ , $u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}$ ， $u_{xx},u_{y},u_{yy}$ 的定義也類似

其名稱是源自橢圓形的方程式。

最簡單的椭圆型偏微分方程是拉普拉斯方程， $\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0$ ，以及泊松方程， $\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=f(x,y).$ 。其他所有的雙變數椭圆型偏微分方程都是這兩種方式的擴展，而且一定可以透過變數變換^[1]^[2]，轉換為以下的標準形。

u_{xx}+u_{yy}+{\text{  (lower-order terms)}}=0

参见

参考文献

^ Pinchover, Yehuda; Rubinstein, Jacob. An Introduction to Partial Differential Equations. Cambridge: Cambridge University Press. 2005. ISBN 978-0-521-84886-2.
^ Zauderer, Erich. Partial Differential Equations of Applied Mathematics. New York: John Wiley&Sons. 1989. ISBN 0-471-61298-7.

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[pinchover-1] Pinchover, Yehuda; Rubinstein, Jacob. An Introduction to Partial Differential Equations. Cambridge: Cambridge University Press. 2005. ISBN 978-0-521-84886-2.

[Zauderer-2] Zauderer, Erich. Partial Differential Equations of Applied Mathematics. New York: John Wiley&Sons. 1989. ISBN 0-471-61298-7.

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 其中{{math|''A''}}, {{math|''B''}}, {{math|''C''}}, {{math|''D''}}, {{math|''E''}}, {{math|''F''}}, and {{math|''G''}}是{{math|''x''}}和{{math|''y''}}的函數，<math>u_x=\frac{\partial u}{\partial x}</math>, <math>u_{xy}=\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}</math>，<math> u_{xx},u_y,u_{yy}</math>的定義也類似
-其名稱是源自[[橢圓形]的方程式。
+其名稱是源自[[橢圓形]]的方程式。
 最簡單的椭圆型偏微分方程是[[拉普拉斯方程]]，<math>\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0</math>，以及[[泊松方程]]，<math>\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=f(x,y).</math>。其他所有的雙變數椭圆型偏微分方程都是這兩種方式的擴展，而且一定可以透過變數變換<ref name="pinchover">{{cite book |last1=Pinchover |first1=Yehuda| last2=Rubinstein| first2=Jacob |date=2005 |title=An Introduction to Partial Differential Equations |location=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-84886-2|url=https://books.google.com/books?id=CnvDS9twvUMC&q=elliptic}}</ref><ref name= "Zauderer">{{cite book|last=Zauderer|first=Erich|date=1989|title=Partial Differential Equations of Applied Mathematics|location=New York |publisher=John Wiley&Sons | isbn=0-471-61298-7}}</ref>，轉換為以下的標準形。