音高集合

八度音  Play 

所有鋼琴上的C(除了三角鋼琴上的C₈)  Play .

音高集合（英語：Pitch class）是一个集合，其中所有的音高都剛好差整数倍的八度音，举例來說，音高集合C包含了所有八度音中的C 。若以科學音高記法來表示，則音高集合C如下：

{C_n : n 為整數} = {..., C_-2, C_-1, C₀, C₁, C₂, C₃ ...};

其中，C₂比C₁高八度音，頻率為後者兩倍，數字每多一，就高一個八度，頻率變兩倍。雖然n沒有正式的範圍，但人耳只聽得到部分的音高(約20赫茲至18000赫茲)，故n大多範圍在0到11之間。人耳對音高的感知是對數–線性，且在同一音高集合中的音高，因為頻率為倍數關係，彼此有疊加的關係，故聽起來非常和諧，有相似的感受，此關係稱為「等價八度」，故音高集合的概念非常重要。

心理學家把音高的特性稱為色度，在同一個音高集合中，有不同頻率的音高組合，但每個音高都有著相同的色度，若以色彩當對照比喻的話，可以把音高集合想成裝有白色物體的集合，裡面的東西不同，但彩度都為白色。

要注意在標準西方音樂標記中，不同的符號可能代表相同的音高，譬如: B♯₃, C₄, 和 D₄ 都是相同的，因此也有著一樣的色度，被歸類在同一種音高集合中。

整數標記法

為了避免相同標記造成誤會，音高集合通常用數字來表示音高集合，以常見的十二平均律為例，一個八度可以平均分成十二個等分，數字由0到11，每個數字都比前個數字高一個半音，不會有12的出現，因為12剛好到達八度音，頻率兩倍，會算在音高集合第0類。故可直接將MIDI值除以12，餘數相同的就會在對應的音高集合中。

音符頻率

根據美國標準協會定義，A₄的頻率為440赫茲，故低一個八度音的A₃頻率為A4一半(220赫茲)。A₃到A₄之間差了一個八度音程，由十二平均律师可平分為12等份的半音，r為每個半音所差的頻率倍數，B比A高了兩個半音，C比A高了三個半音，可依此計算各個音符的頻率。 $r={\sqrt[{12}]{2}}$

$Freq_{B_{4}}=440\times r^{2}=440\times 2^{\frac {2}{12}}\approx 493.88Hz$

$Freq_{C_{4}}=440\times r^{3}=440\times 2^{\frac {3}{12}}\approx 523.25Hz$

MIDI值

MIDI 值用0~127的實數來代表C_-2到G₈的音高，若高一個半音，則數字多一，A₄的MIDI值為69，B₄的MIDI值為71，C₄的MIDI值為72以此類推。若想計算每個音高的MIDI值和頻率，可用以下方程式計算，f 是基頻(單位為赫茲)，p是MIDI值：

$p=69+12\log _{2}({f/440})$

故可將MIDI值直接除以12，即可得到對應音高集合，我們也可用符號取代整數標記法。

$0\equiv C$

$1\equiv C\#/Db$

$2\equiv D$

但有時10,11分別會用"t","e"表示，或是"A","B"表示。

應用

音高集合與色度可應用在複音(和弦)的特徵抽取，複音代表著同時有兩個以上的音，彼此可能有不同的音頻，故有多個音高集合構成，且可轉換成色度用向量去紀錄各個音高集合的比重，如果以最常見的十二平均律為例，可以用一個十二維的向量來代表色度，第一維代表著音高集合C的比重，第二維代表著音高集合C#的比重，第三維代表著音高集合D的比重，以此類推，則C大三和弦，以色度表示，第一維(C)、第五維(E)、第九維(G)的值會特別大，但是其他九維的值也不會等於零，因為弦樂器有除了基本音頻外，還有第一泛音、第二泛音、第三泛音等等，且和弦為複音，彼此的泛音又會共鳴，造成許多組成音以外的音。若可取出大量和弦音訊的十二維色度特徵，即可透過機器學習的方法，由電腦自動判斷新音訊之合弦。但此特徵抽取的方法有個小缺陷，因為色度無法分辨音高來自哪個八度音，故無法分辨出二度音和九度音，故會造成有些特殊和弦無法區別，比如說九和弦、十一和弦、十三和弦。

資料來源

1. Arnold Whittall, The Cambridge Introduction to Serialism (New York: Cambridge University Press, 2008): 276. ISBN 978-0-521-68200-8 (pbk).

2. Don Michael Randel, ed. (2003). "Set theory", The Harvard Dictionary of Music, p.776. Harvard. ISBN 9780674011632.

3. Tymoczko, Dmitri (2011). A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice, p.30. Oxford Studies in

4. Music Theory. ISBN 9780199714353.

5. Müller, Meinard (2007). Information Retrieval for Music and Motion, p.60. ISBN 9783540740483. "A pitch class is defined to be the set of all pitches that share the same chroma."

6. Whittall (2008), p.273.Robert D. Morris, "Generalizing Rotational Arrays", Journal of Music Theory 32, no. 1 (Spring 1988): 75–132, citation on 83.

延伸閱讀

1. Purwins, Hendrik (2005). "Profiles of Pitch Classes: Circularity of Relative Pitch and Key—Experiments, Models, Computational Music Analysis, and Perspectives". Ph.D. Thesis. Berlin: Technische Universität Berlin.

2. Rahn, John (1980). Basic Atonal Theory. New York: Longman; London and Toronto: Prentice Hall International. ISBN 0-02-873160-3. Reprinted 1987, New York: Schirmer Books; London: Collier Macmillan.

3. Schuijer, Michiel (2008). Analyzing Atonal Music: Pitch-Class Set Theory and Its Contexts. Eastman Studies in Music 60. Rochester, NY: University of Rochester Press. ISBN 978-1-58046-270-9.