跳转到内容

平均曲率:修订间差异

维基百科,自由的百科全书
删除的内容 添加的内容
刻意留言 | 贡献
刻意留言 | 贡献
第55行: 第55行:
:<math>H_f = (\kappa_1 + \kappa_2)\ .</math>
:<math>H_f = (\kappa_1 + \kappa_2)\ .</math>


这出现于[[杨-拉普拉斯方程]]中,平衡球状小滴内部的压力等于[[表面张力]]乘以 <math>H_f</math>;两个曲率等于小滴两个曲率半径的倒数 <math>\kappa_1 = \kappa_2 = r^{-1}</math>。
这出现于[[杨-拉普拉斯方程]]中,平衡球状小滴内部的压力等于[[表面张力]]乘以 <math>H_f</math>;两个曲率等于小滴半径的倒数 <math>\kappa_1 = \kappa_2 = r^{-1}</math>。


==极小曲面==
==极小曲面==

2008年11月18日 (二) 01:21的版本

微分几何中,一个曲面 平均曲率mean curvature,是一个“外在的”弯曲测量标准,局部地描述了一个曲面嵌入周围空间(比如欧几里得空间)的曲率。

这个概念由索菲·热尔曼在她的著作《弹性理论》中最先引入。 [1][2]

定义

是曲面 上一点。考虑 上过 的所有曲线 。每条这样的 点有一个伴随的曲率 。在这些曲率 中,至少有一个极大值 极小值 ,这两个曲率 称为 主曲率

平均曲率是两个主曲率的平均值(Spivak 1999,Volume 3, Chapter 2),由欧拉公式其实也是所有曲率的平均值,故有此名

推广为更一般情形 (Spivak 1999,Volume 4, Chapter 7),一个超曲面 的平均曲率为:

更抽象地说,平均曲率是第二基本形式(或等价地,形算子)的

另外,平均曲率 可以用共变导数 写成

这里利用了高斯-Weingarten 关系, 是一族光滑嵌入超曲面, 为单位法向量,而 度量张量

一个曲面是极小曲面当且仅当平均曲率为零,此外,平面 平均曲率满足一个热型方程称为平均曲率流方程。

球面是惟一具有常平均曲率且没有边界或奇点的曲面。

3 维空间中曲面

对 3 维空间中的曲面,平均曲率与曲面的单位法向量相关:

这里法向量的选取影响曲率的正负号。曲率的符号取决于法向量的方向:如果曲面“远离”法向量则曲率是正的。上面的公式对 3 维空间中任何方式定义的曲面都成立,只要能够计算单位法向量的散度

对曲面是两个坐标的函数定义的曲面,比如 ,使用向下的法向量平均曲率(的两倍)表示为

如果曲面还是轴对称的,满足 ,则

流体力学

流体力学中使用的另外一种定义是不要因子 2:

这出现于杨-拉普拉斯方程中,平衡球状小滴内部的压力等于表面张力乘以 ;两个曲率等于小滴半径的倒数

极小曲面

Costa 极小曲面示意图

一个极小曲面是所有点的平均曲率为零的曲面。经典例子有悬链面螺旋面Enneper 曲面。新进发现的包括 Costa 极小曲面(1982年)与 GyroidGyroid 1970年)。

极小曲面的一个推广是考虑常平均曲率曲面。

参见

注释

参考文献