質數定理:修订间差异
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下表比較了π(''x''),''x''/ln ''x''和Li(''x''): |
下表比較了π(''x''),''x''/ln ''x''和Li(''x''): |
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<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0"> |
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{| border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" |
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<tr> |
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<th bgcolor="#A0E0A0">''x''</th> |
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! bgcolor="#A0E0A0" | ''x'' |
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! bgcolor="#A0E0A0" | π(''x'') |
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! bgcolor="#A0E0A0" | Li(''x'') - π(''x'') |
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! bgcolor="#A0E0A0" | ''x''/π(''x'') |
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</tr> |
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<tr> |
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| 10<sup>1</sup> || 4 || 0 || 2 || 2.500 |
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<td>4</td> |
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| 10<sup>2</sup> || 25 || 3 || 5 || 4.000 |
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<td>0</td> |
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|----- |
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<td> 2</td> |
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| 10<sup>3</sup> || 168 || 23 || 10 || 5.952 |
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<td>2.500</td> |
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</tr> |
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| 10<sup>4</sup> || 1,229 || 143 || 17 || 8.137 |
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<tr> |
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|----- |
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<td>10<sup>2</sup></td> |
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| 10<sup>5</sup> || 9,592 || 906 || 38 || 10.430 |
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<td>25</td> |
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|----- |
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<td>3</td> |
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| 10<sup>6</sup> || 78,498 || 6,116 || 130 || 12.740 |
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<td> 5</td> |
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|----- |
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<td>4.000</td> |
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| 10<sup>7</sup> || 664,579 || 44,159 || 339 || 15.050 |
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</tr> |
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|----- |
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<tr> |
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| 10<sup>8</sup> || 5,761,455 || 332,774 |
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| 754 || 17.360 |
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<td>168</td> |
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|----- |
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<td>23</td> |
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| 10<sup>9</sup> || 50,847,534 || 2,592,592 |
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<td> 10</td> |
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| 1,701 || 19.670 |
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<td>5.952</td> |
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</tr> |
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| 10<sup>10</sup> || 455,052,511 || 20,758,029 |
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<tr> |
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| 3,104 || 21.980 |
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<td>10<sup>4</sup></td> |
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|----- |
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<td>1,229</td> |
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| 10<sup>11</sup> || 4,118,054,813 || 169,923,159 |
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<td>143</td> |
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| 11,588 || 24.280 |
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|----- |
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<td>8.137</td> |
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| 10<sup>12</sup> || 37,607,912,018 || 1,416,705,193 |
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</tr> |
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| 38,263 || 26.590 |
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<tr> |
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|----- |
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<td>10<sup>5</sup></td> |
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| 10<sup>13</sup> || 346,065,536,839 || 11,992,858,452 |
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<td>9,592</td> |
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| 108,971 || 28.900 |
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<td>906</td> |
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|----- |
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<td> 38</td> |
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| 10<sup>14</sup> || 3,204,941,750,802 |
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<td>10.430</td> |
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| 102,838,308,636 || 314,890 || 31.200 |
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</tr> |
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|----- |
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<tr> |
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| 10<sup>15</sup> || 29,844,570,422,669 |
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| 891,604,962,452 || 1,052,619 || 33.510 |
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<td>78,498</td> |
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<td>6,116</td> |
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| 10<sup>16</sup> || 279,238,341,033,925 |
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<td> 130</td> |
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| 7,804,289,844,392 || 3,214,632 || 35.810 |
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<td>12.740</td> |
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|----- |
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</tr> |
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| 4 •10<sup>16</sup> || 1,075,292,778,753,150 |
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<tr> |
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| 28,929,900,579,949 || 5,538,861 || 37.200 |
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<td>10<sup>7</sup></td> |
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|} |
|||
<td>664,579</td> |
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<td>44,159</td> |
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<td> 339</td> |
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<td>15.050</td> |
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</tr> |
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<tr> |
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<td>10<sup>8</sup></td> |
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<td>5,761,455</td> |
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<td>332,774</td> |
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<td> 754</td> |
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<td>17.360</td> |
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</tr> |
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<tr> |
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<td>10<sup>9</sup></td> |
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<td>50,847,534</td> |
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<td>2,592,592</td> |
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<td> 1,701</td> |
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<td>19.670</td> |
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</tr> |
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<tr> |
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<td>10<sup>10</sup></td> |
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<td>455,052,511</td> |
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<td>20,758,029</td> |
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<td> 3,104</td> |
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<td>21.980</td> |
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</tr> |
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<tr> |
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<td>10<sup>11</sup></td> |
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<td>4,118,054,813</td> |
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<td>169,923,159</td> |
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<td> 11,588</td> |
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<td>24.280</td> |
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</tr> |
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<tr> |
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<td>10<sup>12</sup></td> |
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<td>37,607,912,018</td> |
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<td>1,416,705,193</td> |
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<td> 38,263</td> |
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<td>26.590</td> |
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</tr> |
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<tr> |
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<td>10<sup>13</sup></td> |
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<td>346,065,536,839</td> |
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<td>11,992,858,452</td> |
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<td> 108,971</td> |
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<td>28.900</td> |
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</tr> |
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<tr> |
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<td>10<sup>14</sup></td> |
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<td>3,204,941,750,802</td> |
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<td>102,838,308,636</td> |
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<td> 314,890</td> |
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<td>31.200</td> |
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<tr> |
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<td>10<sup>15</sup></td> |
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<td>29,844,570,422,669</td> |
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<td>891,604,962,452</td> |
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<td> 1,052,619</td> |
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<td>33.510</td> |
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</tr> |
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<td>10<sup>16</sup></td> |
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<td>279,238,341,033,925</td> |
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<td>7,804,289,844,392</td> |
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<td> 3,214,632</td> |
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<td>35.810</td> |
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<tr> |
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<td>4 •10<sup>16</sup></td> |
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<td>1,075,292,778,753,150</td> |
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<td>28,929,900,579,949</td> |
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<td> 5,538,861</td> |
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<td>37.200</td> |
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素数定理可以給出第''n''個素数''p''(''n'')的漸近估計: |
素数定理可以給出第''n''個素数''p''(''n'')的漸近估計: |
2009年5月8日 (五) 22:00的版本
素数定理描述素数的大致分佈情況。
素数的出現規律一直困惑著數學家。一個個地看,素数在正整數中的出現沒有什麼規律。可是總體地看,素数的個數竟然有規可循。對正實數x,定義π(x)為不大於x的素数個數。數學家找到了一些函數來估計π(x)的增長。以下是第一個這樣的估計。
其中ln x為x的自然對數。上式的意思是當x趨近∞,π(x) 和x/ln x的比趨近1。但這不表示它們的數值隨著x增大而接近。
下面是對π(x)更好的估計:
- ,當 x 趨近∞。
其中(对数积分),而關係式右邊第二項是誤差估計,詳見大O符號。
下表比較了π(x),x/ln x和Li(x):
x | π(x) | π(x) - x/ln(x) | Li(x) - π(x) | x/π(x) |
---|---|---|---|---|
101 | 4 | 0 | 2 | 2.500 |
102 | 25 | 3 | 5 | 4.000 |
103 | 168 | 23 | 10 | 5.952 |
104 | 1,229 | 143 | 17 | 8.137 |
105 | 9,592 | 906 | 38 | 10.430 |
106 | 78,498 | 6,116 | 130 | 12.740 |
107 | 664,579 | 44,159 | 339 | 15.050 |
108 | 5,761,455 | 332,774 | 754 | 17.360 |
109 | 50,847,534 | 2,592,592 | 1,701 | 19.670 |
1010 | 455,052,511 | 20,758,029 | 3,104 | 21.980 |
1011 | 4,118,054,813 | 169,923,159 | 11,588 | 24.280 |
1012 | 37,607,912,018 | 1,416,705,193 | 38,263 | 26.590 |
1013 | 346,065,536,839 | 11,992,858,452 | 108,971 | 28.900 |
1014 | 3,204,941,750,802 | 102,838,308,636 | 314,890 | 31.200 |
1015 | 29,844,570,422,669 | 891,604,962,452 | 1,052,619 | 33.510 |
1016 | 279,238,341,033,925 | 7,804,289,844,392 | 3,214,632 | 35.810 |
4 •1016 | 1,075,292,778,753,150 | 28,929,900,579,949 | 5,538,861 | 37.200 |
素数定理可以給出第n個素数p(n)的漸近估計:
它也給出從整數中抽到素数的概率。從不大於n的自然數隨機選一個,它是素数的概率大約是1/ln n。
這定理的式子於1798年法國數學家勒讓德提出。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家Charles Jean de la Vallée-Poussin先後獨立給出證明。證明用到了複分析,尤其是黎曼ζ函數。
因為黎曼ζ函數與π(x)關係密切,關於黎曼ζ函數的黎曼猜想對數論很重要。一旦猜想獲證,便能大大改進素数定理誤差的估計。1901年瑞典數學家Helge von Koch證明出,假設黎曼猜想成立,以上關係式誤差項的估計可改進為
至於大O項的常數則還未知道。
初等證明
素数定理有些初等證明只需用數論的方法。第一個初等證明於1949年由匈牙利數學家保羅·艾狄胥和挪威數學家阿特利·西爾伯格合作得出。
在此之前一些數學家不相信能找出不需借助艱深數學的初等證明。像英國數學家哈代便說過素数定理必須以複分析證明,顯出定理結果的「深度」。他認為只用到實數不足以解決某些問題,必須引進複數來解決。這是憑感覺說出來的,覺得一些方法比別的更高等也更厲害,而素数定理的初等證明動搖了這論調。Selberg-艾狄胥的證明正好表示,看似初等的組合數學,威力也可以很大。