伯特蘭定理

在經典力學裏，伯特蘭定理闡明，只有兩種純量勢 $V\,\!$ 可以產生閉合軌道：

1. 反平方連心勢像重力勢或靜電勢： $V(r)={\frac {-k}{r}}\,\!$ ，
2. 徑向諧振子勢： $V(r)={\frac {1}{2}}kr^{2}\,\!$ ；

這裏，$r\,\!$ 是徑向座標，$k\,\!$ 是正的常數。假若物體從一點移動，經過一段路徑後，又回到原先點，則稱此路徑為閉合軌道。

牛頓於 1687 年發表的萬有引力定律，解釋了克卜勒定律中，行星繞太陽的橢圓軌道。隨後，許多科學家都在研究，當行星的運動稍微偏離了這軌道的時候，會發生何種狀況？其中一個問題就是：軌道是否仍舊是閉合的？這問題一直到 1873 年，才由法國數學家約瑟·伯特蘭找到解答，即為伯特蘭定理。這定理在經典天體力學裏是很重要的。在宇宙遙遠的那一邊，萬有引力是否仍舊一樣？伯特蘭定理給予實驗者，更精確的方法，來測試萬有引力的反平方特性。

在現代物理學裏，因為廣義相對論效應，關於連心勢的軌道不再是閉合的。有實驗證明，水星繞太陽軌道的近拱點呈緩慢進動狀態。所以，當涉及廣義相對論的領域，伯特蘭定理不再正確。

前論

所有引性的連心力都可以使環繞物體的軌道呈圓形；這圓形軌道當然是閉合軌道；其產生的唯一條件是連心力恰巧地相等於離心力；後者決定對於某圓形半徑所需的角速度。我們在這裏不研究非連心力；一般而言，它們並不會產生圓形軌道。

一個移動於連心勢 $V(r)\,\!$ 的粒子的拉格朗日量 ${\mathcal {L}}\,\!$ 是

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}-V(r)\,\!$ 。

這裏，$m\,\!$ 是粒子的質量，$r\,\!$ 是徑向座標，$\theta \,\!$ 是角座標。

由以下式子可得 $\theta \,\!$ 是個循環座標，

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}=\ell \,\!$ ；

其中，$\ell \,\!$ 是角動量，一個常數。

關於徑向座標，拉格朗日運動方程式為

$m{\ddot {r}}-mr{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {dV}{dr}}\,\!$ 。

代入角動量，

$m{\ddot {r}}-{\frac {\ell ^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}\,\!$ 。

假若軌道是圓形的，方程式左邊第一個項目是零，則連心力 $-{\frac {dV}{dr}}\,\!$ 相等於離心力；這是我們期待的結果。

隨時間微分與隨角度微分的關係為

${\frac {d}{dt}}={\frac {\ell }{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\,\!$ 。

換隨時間微分為隨角度微分，則可導引出一個相依於角度，不相依於時間的運動方程式

${\frac {\ell }{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {\ell }{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {\ell ^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}\,\!$ 。

改變變數 $r\,\!$ 為 $u\equiv {\frac {1}{r}}\,\!$ 。同時將方程式兩邊乘以 ${\frac {m}{\ell ^{2}u^{2}}}\,\!$ 。可以得到一個常系数非齐次线性全微分方程式

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)\,\!$ 。

導引

如同前面所說，給予粒子適當的初始速度，任何連心力都能產生標準圓形軌道。可是，假若給予粒子徑向速度，則這些軌道可能不穩定（穩定是指長久的環繞於同一條軌道），也可能不閉合（閉合是指持續的回到同一路徑）。這裏，我們會證明，穩定的閉合軌道只能發生於反平方連心勢或徑向諧振子勢（一個必要條件）。下個段落，我們將證明，這些勢的確產生穩定的閉合軌道（一個充分條件）。

為了簡化標記，設定 $J(u)\,\!$

$J(u)=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)=-{\frac {m}{\ell ^{2}u^{2}}}f(1/u)\,\!$ ；(1)

這裏，連心力函數 $f(1/u)\,\!$ 與勢函數 $V(1/u)\,\!$ 的關係為

${\frac {d}{du}}V(1/u)={\frac {f(1/u)}{u^{2}}}\,\!$ 。

則運動方程式為

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=J(u)\,\!$ 。

如果要得到一個，半徑為 $r_{0}\equiv {\frac {1}{u_{0}}}\,\!$ ，標準圓形的運動軌道，必須的條件是運動方程式左邊第一項等於零：

$u_{0}=J(u_{0})\,\!$ 。

思考對於標準圓形運動軌道的變數 $u\,\!$ 的微擾 $\eta \equiv u-u_{0}\,\!$ ，函數 $J(u)\,\!$ 在 $u_{0}\,\!$ 的泰勒級數可以展開為

$J(u)\approx u_{0}+\eta J^{\prime }(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J^{\prime \prime }(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J^{\prime \prime \prime }(u_{0})+\ldots \,\!$ 。

將此展開示代入運動方程式，稍微運算，

${\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\eta =\eta J^{\prime }(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J^{\prime \prime }(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J^{\prime \prime \prime }(u_{0})\ldots \,\!$ 。

設定常數 $\beta ^{2}\equiv 1-J^{\prime }(u_{0})\,\!$ ，則

${\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\beta ^{2}\eta ={\frac {1}{2}}\eta ^{2}J^{\prime \prime }(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J^{\prime \prime \prime }(u_{0})\ldots \,\!$ 。(2)

$\beta ^{2}\,\!$ 必須是個非負數；否則，軌道的半徑會呈指數方式增長。而 $\beta =0\,\!$ 的解答為標準圓形運動軌道。取至 $\eta \,\!$ 的 1 次方，一階微擾解答為

$\eta (\theta )=h_{1}\cos(\beta \theta )\,\!$ ；

這裏，振幅 $h_{1}\,\!$ 是個積分常數。

假若這軌道是閉合軌道，則 $\beta \,\!$ 必須是有理數。更加地，因為有理數是互相完全不連通的 (totally disconnected) ，$\beta \,\!$ 不能持續的改變；所以，$\beta \,\!$ 對於所有的半徑，都必須是同樣的有理數。

${\begin{aligned}J^{\prime }(u_{0})&=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}\left(-\left.{\frac {2f(1/u)}{u^{3}}}\right|_{u_{0}}+\left.{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {df(1/u)}{du}}\right|_{u_{0}}\right)\\&=-\left.{\frac {2J(u)}{u}}\right|_{u_{o}}+{\frac {J(u)}{f(1/u)}}\left.{\frac {df}{du}}\right|_{u_{0}}=-2+{\frac {u_{0}}{f(1/u_{0})}}\left.{\frac {df}{du}}\right|_{u_{0}}=1-\beta ^{2}\\\end{aligned}}\,\!$ 。

既然定義方程式對於任何 $u_{0}\,\!$ 值都必須成立，我們可以認定 $u_{0}\,\!$ 是函數 ${\frac {df}{du}}\,\!$ 的參數。所以，用 $u\,\!$ 來代表 $u_{0}\,\!$ ，

${\frac {df}{du}}=-(\beta ^{2}-3){\frac {f(1/u)}{u}}\,\!$ 。

換回為參數 $r\,\!$ ，

${\frac {df}{dr}}=\left(\beta ^{2}-3\right){\frac {f}{r}}\,\!$ 。

這意謂著作用力必須遵守冪定律：

$f(r)=-{\frac {k}{r^{3-\beta ^{2}}}}\,\!$ 。

代入方程式 (1) , $J\,\!$ 的廣泛形式為

$J(u)={\frac {mk}{\ell ^{2}}}u^{1-\beta ^{2}}\,\!$。(3)

假若實際軌道與圓形有更大的差別（也就是說，我們不能忽略 $J\,\!$函數泰勒級數的更高次方項），則可以用傅立葉級數來展開 $\eta \,\!$ ：

$\eta (\theta )=h_{0}+h_{1}\cos(\beta \theta )+h_{2}\cos(2\beta \theta )+h_{3}(\cos(3\beta \theta )+\ldots \,\!$ 。

在這裏，因為高頻率項目的係數太小，只取頻率小於 $3\beta \theta \,\!$ 的項目。方程式 (2) 也只取至 $\eta \,\!$ 的三次方。特別記住 $h_{0}\,\!$ 與 $h_{2}\,\!$ 超小於 $h_{1}\,\!$ 。代入方程式 (2) 的兩邊，兩邊同頻率項的係數必須相等。 這樣，可以得到一系列方程式：

$h_{0}=h_{1}^{2}{\frac {J^{\prime \prime }(u_{0})}{4\beta ^{2}}}\,\!$ ，(4)

$0=(2h_{1}h_{0}+h_{1}h_{2}){\frac {J^{\prime \prime }(u_{0})}{2}}+h_{1}^{3}{\frac {J^{\prime \prime \prime }(u_{0})}{8}}\,\!$ ，(5)

$h_{2}=-h_{1}^{2}{\frac {J^{\prime \prime }(u_{0})}{12\beta ^{2}}}\,\!$ 。(6)

求 $J(u)\,\!$ 隨 $u\,\!$ 在 $u_{0}\,\!$ 的微分，

$J^{\prime }(u_{0})=(1-\beta ^{2}){\frac {mk}{\ell ^{2}}}u_{0}^{-\beta ^{2}}=1-\beta ^{2}\,\!$

$J^{\prime \prime }(u_{0})=(1-\beta ^{2})(-\beta ^{2}){\frac {mk}{\ell ^{2}}}u_{0}^{-\beta ^{2}-1}=-{\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})}{u_{0}}}\,\!$ 。(7)

$J^{\prime \prime \prime }(u_{0})=(1-\beta ^{2})(-\beta ^{2})(-\beta ^{2}-1){\frac {mk}{\ell ^{2}}}u_{0}^{-\beta ^{2}-2}={\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})(1+\beta ^{2})}{u_{0}^{2}}}\,\!$ 。(8)

代入方程式 (4) ， (6) ：

$h_{0}=-{\frac {(1-\beta ^{2})h_{1}^{2}}{4u_{0}}}\,\!$ ，(9)

$h_{2}={\frac {(1-\beta ^{2})h_{1}^{2}}{12u_{0}}}\,\!$ 。(10)

將方程式 (7) ， (8) ， (9) ，與 (10) 代入方程式 (5) ，則可得到伯特蘭定理的重要結果：

$\beta ^{2}(1-\beta ^{2})(4-\beta ^{2})=0\,\!$。

解答 $\beta =0\,\!$ 是標準圓形軌道。只有反平方連心勢 ($\beta =1\,\!$) 與徑向諧振子勢 ($\beta =2\,\!$)能夠產生穩定的，閉合的，近圓形的軌道。

參閱

• 二體問題
• 三體問題
• 克卜勒定律

參考文獻

Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 89–92. ISBN 0201657023 （English）.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 引文格式1维护：未识别语文类型 (link)