双射

一个双射函数

在集合论中，一由集合X至集合Y的函數稱為雙射的，若對每一在Y內的y，存在唯一一個在X內的x，使得f(x)=y。

換句話說，f為雙射的若其為兩集合間的一對一對應，亦即同時單射且滿射。

例如，由整數集合$\mathbb {Z}$至$\mathbb {Z}$的函數succ，其將每一個整數x連結至整數succ(x)=x+1，及另一函數sumdif，其將每一對實數(x,y)連結至sumdif(x,y) = (x + y, x − y)。

一雙射函數亦稱為置換。後者一般較常使用在X=Y時。以由X至Y的所有雙射組成的集合標記為X${}\leftrightarrow {}$Y.

雙射函數在許多數學領域扮演著很基本的角色，如在同構(和如同胚和微分同構等相關概念)、置換群、投影映射及許多其他概念的基本上。

複合函數與反函數

一函數f為雙射的若且唯若其逆關係f⁻¹也是個函數，而且亦為雙射。

兩個雙射函數f$\;:\;$ X${}\leftrightarrow {}$Y及g$\;:\;$ Y${}\leftrightarrow {}$Z的複合函數g o f亦為雙射函數。其反函數為(g o f)⁻¹ = (f⁻¹) o (g⁻¹)。

一个双射，左侧为单射，右侧为满射。

另一方面，若g o f為雙射的，則可以說f是單射的且g是滿射的。

一由X至Y的關係f為雙射函數若且唯若存在另一由Y至X的關係g，使得g o f為X上的恆等函數，且f o g為Y上的恆等函數。必然地，此兩個集合會有相同的勢。

雙射與勢

若X和Y為有限集合，則其存在一兩集合的雙射函數若且唯若兩個集合有相同的元素個數。確實，在公理集合論裡，這被當做「相同元素個數」的定義，且廣義化至無限集合，並導致了基數的概念，一用以分辨無限集合的不同大小。

例子與反例

• 對任一集合X，其恆等函數均為雙射函數。
• 其定義為f(x) = 2x + 1之由實線R至R的函數f是雙射的，當對任一y，存在一唯一x = (y − 1)/2使得f(x) = y。
• 指數函數g : R $\rightarrow$ R，其形式為g(x) = e^x，不是雙射的：因為不存在一R內的x使得g(x) = −1，故g非為雙射。但若其陪摯改成正實數R⁺ = (0,+∞)，則g便會是雙射的了；其反函數為自然對數函數 ln。
• 函數h : R $\rightarrow$ [0,+∞)，其形式為h(x) = x²，不是雙射的：因為h(−1) = h(+1) = 1，故h非為雙射。但其定義域也改成[0,+∞)，則h便會是雙射的了；其反函數為正平方根函數。
• $\mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x$不是雙射函數，因為−1、0和1都在其定義域裡且都映射至0。
• $\mathbf {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x)$不是雙射函數，因為π/3和2π/3都在其定義域裡且都映射至(√3)/2。

性質

• 一由實線R至R的函數f是雙射的若且唯若其標繪圖和任一水平線相交且只相交於一點。
• 設X為一集合，則由X至其本身的雙射函數，加上其複合函數(^o)的運算，會形成一個群，一個X的對稱群，其標記為S(X)、S_X或X!。
• 取一定義域的子集A及一陪域的子集B，則

|f(A)| = |A| 且 |f⁻¹(B)| = |B|。

• 若X和Y為具相同勢的有限集合，且f: X → Y，則下列三種說法是等價的：

1. f 為一雙射函數。
2. f 為一滿射函數。
3. f 為一單射函數。

雙射與範疇論

形式上，雙射函數恰好是集合與函數集合範疇內的同構。

另見

• 單射
• 同構
• 置換
• 對稱群
• 满射
• 雙射計數法