平行

a和b平行

平行是一个几何学术语。在平面几何中，永远不会相交的多条直线，或者多个平面彼此互相平行。在欧几里得几何中，由平行公设，平面上过直线外一点恰好可以作一条与它平行的直线。在非欧几何中，根据空间曲率的不同，过直线外一点可以作多条或零条与它平行的直线。

在三维空间或一般的欧几里得空间中，直线或平面平行关系视乎其方向向量或法向量，但过直线外一点也只能作一条与它平行的直线，并且过平面外一点也只能作一条与它平行的平面。然而，过平面外一点可以作无数条与之平行的直线（都在唯一的与它平行的平面上）。

平行线

在欧几里得空间中，直线的方向向量是一个单位向量$b$，使得原点到直线上所有点的向量都能表示为$a+\lambda b,\ \lambda \in \mathbb {R}$。若干个由方向向量$v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}$ 确定的直线相互平行当且仅当这些向量全部相等或只差一个符号。

在欧几里得空间中，平面的法向量是一个单位向量$e$，使得平面上所有的向量都与$e$垂直。直线与平面平行当且仅当直线不属于平面，并且直线的方向向量与平面的法向量垂直。而平面与平面相互平行当且仅当它们的法向量相等或只差一个符号。

平面解析几何中的平行

在笛卡儿坐标系中，设两条直线的表达式为：

$({\mathcal {D}}_{1}):a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$

$({\mathcal {D}}_{2}):a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$

那么两条直线$({\mathcal {D}}_{1})$ 与$({\mathcal {D}}_{2})$ 平行当且仅当$a_{1}b_{2}=b_{1}a_{2}$，并且$a_{1}c_{2}\neq c_{1}a_{2}$（否则两直线重合）。

角度关系

平面上一条直线与两条平行线相交时，会截出两个交点，构成八个角，称为三线八角。这八个角中有对顶角、同位角、同旁内角、同旁外角、内错角和外错角这几种关系。这些角度关系对解决平面几何问题十分有用。