滤子 (数学)

在数学中，滤子是偏序集合的特殊子集。经常使用的特殊情况是：要考虑的有序集合只是某个集合的幂集，并用集合包含来排序。滤子出现在序理论和格理论中，还可以在它们所起源的拓扑学中找到。滤子的对偶概念是理想。

滤子是昂利·嘉当在1937年发明的并随后在尼古拉·布尔巴基的书《Topologie Générale》中作为对 E. H. Moore 和 H. L. Smith 在1922年发明的网的概念的替代。

形式定义

滤子的最一般定义是：

偏序集合 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，若 F 满足:

1. ∀x, y ∈ F，∃z ∈ F，使 z ≤ x 且 z ≤ y。(F 是滤子基)
2. F 是上闭的：∀x ∈ F，y ∈ P，x ≤ y ⇒ y ∈ F。

滤子最初只是为格定义的。在这种情况下，上述定义可以被特征化为如下等价陈述: 格 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，当且仅当它是闭合在有限的交(下确界)下的上闭集合，就是说，对于所有在 F 中的 x, y，我们找到 x ∧ y 也在 F 中。

相关概念和结论

• 滤子的序对偶（交换≥和≤，∧和∨）概念是理想；
• 真滤子：偏序集P的滤子F称为真滤子，若I ≠ P。

尽管上述定义是为任意偏序集合定义滤子的最一般的方式，

包含一个给定元素 p 的最小的滤子是主滤子而 p 在这种情况下是主元素。p 的主滤子只用集合 $\{x\in P\ |\ p\leq x\}$ 给出，并指示为 $\uparrow p$。

由于滤子和理想在概念上的序对偶性，关于滤子的讨论通常可以与理想的讨论相关联。关于滤子的其它信息（如极大滤子，素滤子)参见理想。关于超滤子有专门的条目。

集合上的滤子

滤子的一个特殊情况是定义在集合上的滤子。假定一个集合 S，偏序 ⊆ 可以通过子集包含定义在幂集 P(S)上，把 (P(S),⊆) 变成了一个格。定义 S 上的滤子 F 为 P(S) 的有如下性质的子集:

1. S ∈ F。(F 非空)
2. ∅ ∉ F。(F 为真子集)
3. 如果 A ∈ F 并且 B ∈ F，则 A ∩ B ∈ F (F 闭合于有限交之下)
4. 如果 A ∈ F 且 A ⊆ B，则 B ∈ F 中，对于所有 B ⊆ S。(F 是上闭集合)

前三个性质蕴涵了集合上的滤子有有限交集性质。通过这个定义在集合上的滤子是真滤子。为此有时叫做集合上的真滤子；但是，只要集合上下文是明显的，短名字就足够了。

滤子基是 P(S) 的带有如下性质的子集 B：

1. B 的任何两个集合的交集包含 B 的一个集合
2. B 是非空的并且空集不在 B 中

滤子基 B 可以通过把包含 B 的一个集合的 P(S) 的所有集合包括在内而变成(真)滤子。所以结果的滤子基经常被称为是生成或扩张自滤子基 B。所有滤子更加是滤子基，所以经过滤子基到滤子的过程可以被看做某种补全。

如果 B 和 C 是在 S 上的两个滤子基，要说 C 细于(fine) B (或者 C 是 B 的精细)，意味着对于每个 B₀ ∈ B，有一个 C₀ ∈ C 使得 C₀ ⊆ B₀。

• 对于滤子基 B 和 C，如果 B 细于 C 且 C 细于 B，则 B 和 C 被称为等价滤子基。
• 对于滤子基 A, B 和 C，如果 A 细于 B 且 B 细于 C，则 A 细于 C。

给定 P(S) 的一个子集 T，我们可以问是否存在一个最小的滤子 F 包含 T。这样一个滤子存在，当且仅当 T 的子集的有限交集是非空的。我们称 T 为 F 的子基，并称 F 生成自 T。F 可以通过采纳 T 的所有有限交集来构造，它就是 F 的滤子基。

例子

• 最简单的滤子的例子是包括 S 的一个特定非空子集 C 的 S 的所有子集的集合。这种滤子叫做 C 生成的主滤子。

• 在无限集合 S 上Frechet滤子是 S 的有有限补元的所有子集的集合。

• 在集合 X 上的一致空间是在 X×X 上的滤子。

• 可以使用Rasiowa-Sikorski引理建立在偏序集合内的滤子，这经常用于力迫。

• 集合 $\{\{N,N+1,N+2,\dots \}:N\in \{1,2,3,\dots \}\}$ 被叫做自然数序列 $(1,2,3,\dots )$ 的尾滤子基。尾滤子基由任何网 $(x_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 使用构造 $\{\{x_{\alpha }:\alpha \in A,\alpha _{0}\leq a\}:\alpha _{0}\in A\}\,$ 得到。所以，所有的网都生成一个滤子基(并因此是滤子)。因为所有序列都是网，这对所有序列也成立。

在模型论中滤子

对于在集合 S 上的任何滤子 F，如下定义的集合函数

$m(A)=\left\{{\begin{matrix}\,1&{\mbox{if }}A\in F\\\,0&{\mbox{if }}S-A\in F\\\,{\mbox{undefined}}&{\mbox{otherwise}}\end{matrix}}\right.$

是有限可加性的，就是一个“测度”，如果这个术语更加松散的构造的话。所以陈述

$\left\{\,x\in S:\varphi (x)\,\right\}\in F$

可以在某种程度上被认为类似于声称 φ“几乎处处”成立。在滤子内的成员关系释义用在模型论的超乘积理论中。

在拓扑学中的滤子

在拓扑学和数学分析中，滤子被用来定义收敛，类似于序列在度量空间空间中所扮演的角色。

在拓扑学和有关的数学领域中，滤子是网的推广。网和滤子二者都提供非常一般性的上下文来统一各种极限概念到任意的拓扑空间。

一个序列通常用作为全序集合来索引。因此，在第一可數空間中的极限可以被序列所描述。但是如果，空间不是第一可数的，则必须使用网或滤子。网推广了序列的概念，通过简单的要求索引集合是有向集合。滤子可以被认为是从多个网建立的集合。因为，滤子的极限和网的极限二者在概念上同于序列的极限。

使用滤子的好处是很多结果的证明可以不使用选择公理。

邻域基

选取拓扑空间 T 和一个点 x ∈ T。

• 选取 N_x 是在 T 的点 x 上的邻域滤子。这意味着 N_x 是点 x 的所有拓扑邻域的集合。可以验证 N_x 是个滤子。邻域系统是邻域滤子的另一个名字。

• 要说 N 是在 T 的 x 上的邻域基，就意味着对于所有 V₀ ∈ N_x，存在 N₀ ∈ N 使得 N₀ ⊆ V₀。注意所有邻域基都是滤子基。

收敛滤子基

选取拓扑空间 T 和一个点 x ∈ T。

• 要说滤子基 B 收敛到 x，指示为 B → x，就意味着对于所有 x 的邻域 U，有 B₀ ∈ B 使得 B₀ ⊆ U。在这种情况下，x 叫做 B 的极限点而 B 叫做收敛滤子基。注意这里用的术语“极限点”是“极限”概念到滤子基的推广；在某些上下文中，术语“极限点” 用于下面解说的簇点，并以此区别于术语“极限”。
  • 对于所有 x 的邻域基 N，有 N → x。
  • 如果 N 是 p 的邻域基而 C 是在 T 上的滤子基，则 C → x 当且仅当 C 细于 N。
  • 对于 X ⊆ T，要说 p 是 X 在 T 中极限点，就意味着对于 T 中的 p 的每个邻域 U，有 U∩(A - {p})≠∅。
  • 对于 X ⊆ T，p 是 X 在 T 中的极限点，当且仅当存在在 A - {p} 上的滤子基 B 使得 B → p。

聚集

选取拓扑空间 T 和点 x ∈ T。

• 要说 x 是 B 在 T 上的聚集点，就意味着对于每个 B₀ ∈ B 和对于 x 在 T 中的每个邻域 U，有 B₀∩U≠∅。在这种情况下，B 被被称为聚集于点 x。
  • 对于滤子基 B 使得 B → x，极限点 x 也是聚集点。
  • 对于滤子基 B 有着聚集点 x，x 不必然是极限点。
  • 对于滤子基 B 聚集于点 x，有一个滤子基 C 细于会聚到 x 的滤子基 B。
  • 对于滤子基 B，集合 ∩{cl(B₀) : B₀∈B} 是所有 B 的聚集点的集合(注意: cl(B₀) 是 B₀ 的闭包)。假定 T 是偏序集合。
    • B 的下极限是 B 的所有聚集点的集合的下确界。
    • B 的上极限是 B 的所有聚集点的集合的上确界。
    • B 是收敛滤子基，当且仅当它的下极限和上极限一致；在这种情况下它们所一致于的值是这个滤子基的极限。

拓扑空间的性质

选取拓扑空间 T。

• T 是豪斯多夫空间，当且仅当对于所有在 T 上的滤子基 B，B→p 并且 B→q 蕴涵 p=q (就是说，所有滤子(基)有最多一个极限点)。
• T 是紧致空间，当且仅当所有在 X 上的滤子基聚集。
• T 是紧致空间，当且仅当所有在 X 上的滤子基是收敛滤子基的子集。
• T 是紧致空间，当且仅当所有在 X 上的超滤子会聚。

拓扑空间上的函数

选取拓扑空间 X 和 Y 和子集 E ⊆ X。选取 E 上的滤子基 B 和函数 $f:E\to Y$。B 在 f 下的像 f[B] 是集合 $\{f(x):x\in B\}$。像 f[B] 形成了在 Y 上的滤子基。

• f 连续于 x，当且仅当 $F\to x$ 蕴涵 $f(F)\to f(x)$。

度量空间

选取度量空间 X 带有度量 d。

• 要说滤子基 B 在 X 上是柯西的，就意味着对于每个实数 ε>0，有 B₀ ∈ B 使得 B₀ 的度量直径小于 ε。
• 选取 (x_n) 是度量空间 X 中的序列。(x_n) 是柯西序列，当且仅当形如 { {x_n,x_n+1,...} : n ∈ {1,2,3,...} } 的滤子基是柯西的。

一致空间中的滤子

给定一致空间 X，在 X 上的滤子 F 被称为柯西滤子，如果对于所有周围(entourage) U，有着 $A\in F$ 带有 $(x,y)\in U$ 对于所有 $x,y\in A$。 在度量空间中，这选取形式 F 为柯西的，如果对于所有 $\epsilon >0\ \ \exists A\in F\ \ \mathrm {diam} (A)<\epsilon$。X 被称为是完备的，如果所有柯西滤子会聚。反过来说，在一致空间上所有收敛滤子是柯西滤子。此外，所有柯西滤子的聚集点是极限点。

紧致一致空间是完备的: 在紧致空间中每个滤子都有聚集点，并且如果滤子是柯西的，这种聚集点就是极限点。进一步的，一致空间是紧致的当且仅当它是完备的和完全有界的。

引用

• Cartan, H. (1937) "Thèorie des filtres". CR Acad. Paris, 205, 595–598.
• Cartan, H. (1937) "Filtres et ultrafiltres" CR Acad. Paris, 205, 777–779.

A monograph available free online:

• Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.
• An introductory account of the theory of filters in metric and topological spaces

参见

• 过滤 (数学)
• 网 (数学)
• 理想 (数学)