理想 (环论)

理想（Ideal）是一个抽象代数中的概念。

定义

环(R,+,·)，易知(R, +)是阿贝尔群。R的子集I称为R的一个右理想，若I满足：

1. (I, +) 构成 (R, +) 的子群。
2. ∀i ∈ I，r ∈ R，i·r ∈ I。

类似地，I称为R的左理想，若以下条件成立：

1. (I, +) 构成 (R, +) 的子群。
2. ∀i ∈ I，r ∈ R，r·i ∈ I。

若I既是R的右理想，也是R的左理想，则称I为R的双边理想，简称R上的理想。

示例

• 整数环的理想：整数环Z只有形如的nZ理想。
• 除环的理想：除环中的(左或右)理想只有平凡(左或右)理想。

一些结论

• 在环中，(左或右)理想的交和并仍然是(左或右)理想。
• 对于R的两个理想A，B，记$AB=\left\{\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}|a_{k}\in A,b_{k}\in B\right\}$。按定义不难证明：

• (1) 如果A是R的左理想，则AB是R的左理想。
• (2) 如果B是R的右理想，则AB是R的右理想。
• (3) 如果A是R的左理想，B是R的右理想，则AB是R的双边理想。

• R的子集I是R的理想，若I满足：
  1. ∀a,b ∈ I，a - b∈I。
  2. ∀a ∈ I, r ∈ R， 则a·r∈ I。

生成理想

如果A环R的一个非空子集，令<A>=RA+AR+RAR+ZA，则<A>是环R的理想，这个理想称为R中由A生成的理想, A称为生成元集。同群的生成子群类似，<A>是R中所有包含A的理想的交,因此是R中包含A的最小理想。下面是生成理想的几种特殊情况：

• (1) 当是交换环时，<A>=RA+ZA

• (2) 当是有单位元1的环时，<A>=RAR

• (3) 当是有单位元交换环时，<A>=RA

主理想

设集合A = {a₁,a₂,...,a_n}，则记<A> = <a₁,a₂,...,a_n>，称$\left\langle A\right\rangle$是有限生成理想.特别当$A=\left\{a\right\}$是单元素集时，称$\left\langle A\right\rangle =\left\langle a\right\rangle$为环R的主理想。注意$\left\{a\right\}$作为生成元一般不是唯一的，如$\left\langle a\right\rangle =\left\langle -a\right\rangle$。$\left\langle a\right\rangle$的一般形式是：

$\left\langle a\right\rangle =\left\{\sum _{k=1}^{m}x_{k}ay_{k}+sa+at+na|x_{k},y_{k},s,t\in R,n,m\in Z\right\}$

• 性质：$\left\langle A\right\rangle =\sum _{a\in A}\left\langle a\right\rangle$

几类特殊环中的主理想：

• (1) 如果是交换环，则$\left\langle a\right\rangle =\left\{sa+na|s\in R,n\in Z\right\}$

• (2) 如果是有单位元的环，则$\left\langle a\right\rangle =\left\{\sum _{k=1}^{m}x_{k}ay_{k}|x_{k},y_{k}\in R,m\in Z,m>0\right\}$

• (3) 如果是有单位元的交换环，则$\left\langle a\right\rangle =\left\{sa|s\in R\right\}$

　　

一些條件比較好的理想

• 真理想： 如果I是R的真子集，I就叫做R的真理想。
• 极大理想： 一个真理想I被称为R的极大理想，如果沒有其他真理想J,使得I是J的真子集。

• 极大左理想：设 I 是环R的左理想，如果$I\neq R$并且在 I 与R之间不存在真的左理想，则称 I 是环R的一个极大左理想。极大左理想与极大理想之间有如下关系：
  • (1)如果 I 是极大左理想，又是双边理想，则 I 是极大理想。
  • (2)极大理想未必是极大左理想。

• 除环的零理想是极大理想。在有单位元的环中，如果零理想是其极大理想,称这种环是单环。除环是单环，域也是单环。反之则不对，即存在不是除环的单环。
• 定理1 在整数环Z中，由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：p是素数。
• 定理2 设R是有单位元1的交换环。理想 I 是R的极大理想的充分且必要条件是：商环$R/I$是域。
• 定理3 设 I 是环R的左理想，则 I 是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在 I 中的左理想J都有$I+J=R$。

• 素理想：真理想I被称为R的素理想，如果对于R的任意理想A，B， $AB\subseteq I$ 可推出 $A\subseteq I$或 $B\subseteq I$。
• 素环：如果环R的零理想是素理想，则称R是素环(或质环)。无零因子环是素环。在交换环R中，真理想 I 是素理想的充分且必要条件是：$R/I$是素环.
• 准素理想：设 I 是环R的理想，并且$I\neq R$。如果对任意理想P，由$P^{2}\subseteq I$，可得$P\subseteq I$，则称 I 是环R的准素理想。

　　显然，准素理想是一类比素理想相对较弱条件的理想，因为素理想是准素理想，但准素理想未必是素理想。

参见

• 理想 (序理论)