极值:修订间差异
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2010年6月5日 (六) 14:39的版本
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微积分学 |
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在数学中,极大值与极小值(又被称为极值)是指在一个域上函数取得最大值(或最小值)的点的函数值。而使函数取得极值的点(的横坐标)被称作极值点。这个域既可以是一个邻域,又可以是整个函数域(这时极值称为最值)。
定义
局部最大值:如果存在一个 ε > 0,使的所有满足|x-x*| < ε 的x都有f(x*) ≥ f(x) 我们就把点x*称为一个函数 f 的局部最大值。从函数图像上看,局部最大值就像是山顶。
局部最小值: 如果存在一个 ε > 0,使的所有满足|x-x*| < ε 的x都有f(x*) ≤ f(x) 我们就把点x*称为一个函数 f 的局部最小值。从函数图像上看,局部最小值就像是山谷的底部。
全局(或称'绝对')最大值 如果点x* 对于任何x都满足f(x*) ≥ f(x),则点点x*称为全局最大值。同样如果如果点x* 对于任何x都满足f(x*) ≤ f(x),则点点x*称为全局最小值。全局最值一定是局部极值,反之则不然。
极值的概念不仅仅限于定义在实数域上的函数。定义在任何集合上的实数值函数都可以讨论其最大最小值。为了定义局部极值,函数值必须为实数,同时此函数的定义域上必须能够定义邻域。邻域的概念使得在x的定义域上可以有|x - x*| < ε.
局部最大值(最小值)也被称为极值(或局部最优值),全局最大值(最小值)也被称为最值(或全局最优值).
求极值的方法
求全局极值是最优化方法的目的。对于一元二阶可导函数,求极值的一种方法是求驻点(亦称为静止点,停留点,英文原文为,stationary point),也就是求一阶导数为零的点。如果在驻点的二阶导数为正,那么这个点就是局部最小值;如果二阶导数为负,则是局部最大值;如果为零,则还需要进一步的研究。
一般地,如果在驻点处的一阶、二阶、三阶……直到N阶导数都是零,而N+1阶导数不为零,则当N是偶数且N+1阶导数为正时,该点为极小值;当N是偶数且N+1阶导数为负时,该点为极大值;如果N是奇数,则该点不是极值。
如果这个函数定义在一个有界区域内,则还要检查局域的边界点。 如果函数在定义域内存在不可导点,则这些不可导点也可能是极值点。
例子
- 函数 有惟一最小值,在x = 0 处取得。
- 函数 没有最值,也没有极值,尽管其一阶导数 在'x = 0处也为 0。因为其二阶导数(6x) 在该点也是0,但三阶导数不是零。
- 函数cos(x)有无穷多个最大值,0, ±2π, ±4π, ...,与无穷多个最小值 ±π, ±3π, ... .
求函数的极值时还应当考虑其不可导点,即导数不存在的点。 如函数y=/x/ 中0处的导数不存在,事实上从图像上也能看出这一点来。而且0就是该函数的一个极小值。
多变量函数
对于多变量函数,同样存在在极值点的概念,但是也有鞍点的概念。