User:Dzlot/加速度

本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

加速度是物理学中的一个物理量，是一个矢量，主要应用于经典物理当中，一般用字母$\mathbf {a} \,\!$表示，在国际单位制中的单位为米每二次方秒（$\mathrm {m/s^{2}} \,\!$）。加速度是速度矢量关于时间的变化率，描述速度的方向和大小变化的快慢。

加速度由力引起，在经典力学中因为牛顿第二定律而成为一个非常重要的物理量。在惯性参考系中的某个参考系的加速度在该参考系中表现为惯性力。加速度也与多种效应直接或间接相关，比如电磁辐射。

在本页面中我们会多次用到“质点”这一物理概念。简单地说，质点指的是一个极小的，但是质量不可以忽略的物体。一般情况下，你可以想象为一个小石块。

简述

感受加速度是如何作用于运动的物体的：某物体受到持续的、向上向下相间的力（箭头表示），那个箭头也可以等量地表示加速度。看看这个物体是如何运动的。

简单地说，速度描述了位置是如何变化的，则加速度描述了速度是如何变化的。比如，你水平向前扔出一个物体，起初它的速度朝向正前，然而不久你就会发现它开始在向前的同时向下坠落，即其速度改变了。这里改变物体速度的主要是地球的重力引起的重力加速度。

参见：矢量

加速度具有矢量性质，即你需要用大小和方向同时描述一个加速度。在光滑水平面上向前运动的物体，如果你向左或向右施以力，即给予了不同的加速度，则其速度会发生变化，然而向左的加速度和向右的加速度显然引起了不同的效果。同样，你施力的大小不同，引起的加速度不同，最终的结果也不一样。作为一个矢量，加速度的叠加和分解分别遵循平行四边形法则和三角形法则。

稍微准确点说，加速度描述的是速度随时间的变化率。需要注意的是，由于速度也是矢量，因此加速度不为零的物体速度的大小（称之为速率）也不一定会发生变化，实际上，如果加速度保持与速度垂直，速度大小就一直不会改变，同时方向一直改变。这种情况在生活中最常见的是圆周运动，比如在被拴在一端固定的线的另一端的一个小物体在线保持绷直时做的运动，又比如带电粒子在仅受静磁场的洛伦兹力$\mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} \,\!$时做的运动。

直线运动中的加速度

设质点A在数轴上运动，$t\,\!$时刻位于$x(t)\,\!$处，经过$\Delta t\,\!$时间后位于$x(t+\Delta t)\,\!$处，则定义质点A在$t\,\!$时刻的瞬时速度（简称速度）为

$v(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}}={\frac {dx}{dt}}\,.$

其中，${\frac {dx}{dt}}\,\!$表示对位移关于时间求一阶导数，在时间-位移图上表现为求斜率。从而定义质点A在$t\,\!$时刻的瞬时加速度（简称加速度）为

三个质点从坐标原点以相同的速度出发，由于分别拥有正、零、负的加速度而导致其位置和关于时间的曲线。

$a(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}}={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\,.$

进而有

$v(t)=\int _{t}^{t_{0}}a(t)\,dt+v(t_{0})\,.$

在直线运动时，矢量退化为带符号的标量，其绝对值表示该物理量的大小。速度为正表示向右，速度为负表示向左。加速度与速度方向相同（即符号相同）时表示物体不断加速，不同则表示物体不断减速。

右图画出了三个质点在$t=0\,\!$从坐标原点以相同的速度$v_{0}\,\!$出发，由于分别拥有正、零、负的加速度而导致其位置$x\,\!$关于时间的曲线。你分别可以将其想象为在光滑桌面上，三个木块以相同初速度，沿斜面向下、沿水平面、沿斜面向上滑行。

在位移-时间图上，加速度由曲线的凹凸性表示，加速度为正的部分表现为凸函数，反之为凹函数。

空间曲线运动中的加速度

设质点A在空间中运动，原点O指向A的矢量$\mathbf {r} \,\!$为其矢径，则可类似定义其速度矢量和加速度矢量为

$\mathbf {v} (t)={\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}\,.$

$\mathbf {a} (t)={\frac {d\mathbf {v} (t)}{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} (t)}{dt^{2}}}\,.$

右图表示出了两次微分的过程，为了清晰，这里我们用差分（$\Delta t\,\!$并不趋于0）近似代替了微分。可以看出，加速度与速度都具有方向和大小，并且即使在同一时刻两者方向也不一定相同。加速度与速度方向平行的分量表示速度大小的变化率（相同则加速，相反则减速），而与速度垂直的分量表示速度方向的变化率（速度矢量转动的角速度）。

在$\Delta t\,\!$足够小时，我们可以将那一小段曲线运动近似看做直线运动。

关于加加速度

主条目：加加速度

我们将位移关于时间进行一阶求导得到了速度，二阶求导得到了加速度。可能会想到，我们可以通过进行三阶求导来得到一个诸如“加加速度”的物理量。然而并没有普遍地这样做，因为实际应用中，加速度常常是在牛顿第二定律的相关问题中使用；在其它领域使用时，也极少看见需要使用到三阶微分的情况。

角加速度

角加速度主要是在定轴转动的物体上使用，例如，想象一个圆盘和一个垂直插在其中心木棍相固定，两只手握住木棍并转动的情景（与之相对应的是在地上高速旋转的陀螺，绕定点任意转动）。在圆盘上做一个标记（如一条半径），则定轴转动的物体可以简单地用一个标量（即一个数）物理量，该物体转动的角度（也即该标记转动的角度）来描述。

这种特性可以让我们联想到直线运动，因为直线运动也只需要一个标量物理量来描述。因此两种模型在数学上可以类比：位移、速度、加速度，分别对应角度、角速度、角加速度，我们便可以将直线运动种已有的定律和方法直接带入，例如，使用已有的匀加速直线运动理论来研究匀加速定轴转动。

角加速度常用字母$\beta$表示，在国际单位制中的单位为弧度每二次方秒（$\mathrm {rad/s^{2}}$）。其定义式为

$\beta (t)={\frac {d\omega (t)}{dt}}={\frac {d^{2}\theta (t)}{dt^{2}}}\,.$

其中，$\omega (t)$为物体角速度，$\theta (t)$为物体转过的角度。

加速度的分解

处理关于空间加速度矢量的问题，除了直接计算矢量之外，更多的时候我们将加速度按照适当坐标轴分解，即将矢量形式的加速度表示为相互独立的不同方向上的标量的形式。因为标量的计算要容易很多，因此这是解决问题常用的方法。

平面直角坐标系

在平面直角坐标系中，

$\mathbf {a} (t)=a_{x}(t)\mathbf {i} +a_{y}(t)\mathbf {j}$

其中$\mathbf {i} ,\mathbf {j} \,\!$分别为x、y坐标轴上的单位矢量，皆为常矢量。

这种分解方式的优点在于，形式简便，思维简单；因为单位矢量不会变化，故质点在三个方向上的投影等价于直线运动，使得问题完全化为代数问题，并且可以直接使用直线运动的已有结论。

极坐标系

在平面的极坐标系中，质点的位置由它到极点的连线长度（半径）$r$和已知极轴到该半径的角坐标$\theta$（单位为弧度）共同描述，在某一点处的两个单位矢量分别为沿半径向外的$\mathbf {e} _{r}$和垂直于半径指向角坐标正方向的$\mathbf {e} _{\theta }$。

下面为极坐标系分解的推导。

容易发现，两个单位矢量会随质点所处位置不同而变化，并可通过分析得出结论，在质点运动的时候

$d\mathbf {e} _{r}=d\theta \cdot \mathbf {e} _{\theta }\,.$

$d\mathbf {e} _{\theta }=-d\theta \cdot \mathbf {e} _{r}\,.$

其中$d\mathbf {e} _{r}\,\!$代表经过一个小量$dt\,\!$时间该矢量的变化，$d\theta \cdot \mathbf {e} _{\theta }\,\!$代表一个大小为$d\theta \,\!$（角位移的变化）沿$\mathbf {e} _{\theta }\,\!$方向的矢量，以此类推。右图表现了这个微分的过程。

再加上微分的莱布尼兹法则${\frac {d(a\cdot b)}{dc}}=a\cdot {\frac {db}{dc}}+b\cdot {\frac {da}{dc}}\,\!$，在极坐标系下

${\begin{aligned}\mathbf {v} &={\frac {d(r\cdot \mathbf {e} _{r})}{dt}}\\&={\frac {d(r\cdot \mathbf {e} _{r})}{dt}}\\&=r{\frac {d\theta }{dt}}\cdot \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {dr}{dt}}\mathbf {e} _{r}\\\end{aligned}}\,.$

${\begin{aligned}\mathbf {a} &={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\\&={\frac {d\left(r{\frac {d\theta }{dt}}\cdot \mathbf {e} _{\theta }\right)}{dt}}+{\frac {d\left({\frac {dr}{dt}}\mathbf {e} _{r}\right)}{dt}}\\&=r{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {d\mathbf {e} _{\theta }}{dt}}+r{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\cdot \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {dr}{dt}}{\frac {d\theta }{dt}}\cdot \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}\cdot \mathbf {e} _{r}+{\frac {dr}{dt}}{\frac {d\mathbf {e} _{r}}{dt}}\\\end{aligned}}\,.$

最后经过简单的合并，我们得出，在极坐标系中

$\mathbf {a} =\left[{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-r\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}\right]\mathbf {e} _{r}+\left(2{\frac {dr}{dt}}{\frac {d\theta }{dt}}+r{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\right)\mathbf {e} _{\theta }\,.$

几种特殊的运动

以下为几种特殊的运动，因为在不同的模型下质点常被不同地近似处理，并且可以得出的结论较之上面的积分式常能极大地简省计算量，故有研究的价值。另外，还有几种被命名了的特定加速度。

匀速直线运动

主条目：匀速直线运动

若某质点保持加速度$a=0\,\!$，则其速度$\mathbf {v} \,\!$的大小和方向不会变化，质点将保持在同一直线上以同一速率（速度大小）运动，这种运动被称作匀速直线运动。特殊地，若速度$v=0\,\!$，则质点静止。

匀速直线运动主要出现在牛顿第一定律中，该定律表示：“不受任何力或受合力为零的物体作匀速直线运动。”由于自然界中大部分力的随距离增大而减小，故离所有其它物体足够远的某一物体的运动能够在足够的精度下被近似为匀速直线运动。这种近似常被用于寻找惯性参考系和粒子物理学的运算当中。

匀变速直线运动

格鲁吉亚六旗游乐场的自由落体机，你从高达数十米的地方由静止释放，长长的途中几乎只受到重力，近似为自由落体运动，使得你落到地面附近时拥有极高的速度。

若某作质点作直线运动并保持加速度$a\,\!$恒定，则质点作匀变速直线运动。在这种情况下，若$t=0\,\!$时刻速度为$v_{0}\,\!$，$t\,\!$时刻速度为$v(t)\,\!$，位移为$s(x)\,\!$，则可由上面积分式得出

$v(t)=v_{0}+at\,.$

${\begin{aligned}s(t)&=v_{0}+{\frac {1}{2}}at^{2}\\&={\frac {v(t)-v_{0}}{2}}t\\\end{aligned}}\,.$

以及得出

$a={\frac {v(t)^{2}-v_{0}^{2}}{s(t)}}\,.$

自由落体运动 重力加速度

主条目：自由落体

自由落体运动是指初速度为0，加速度恒为竖直向下的重力加速度g的运动，是匀变速直线运动的一种特殊情况。自由落体运动是将地球上的物体下落的状况进行理想化的抽象模型，当物体在地面附近，且所受空气阻力远小于其重力时，在一定精度内可被视作自由落体运动。

加速度恒定的运动

加速度是一个矢量，因此“加速度恒定”暗示加速度的大小和方向都不随时间变化。

一个从左向右被抛出的篮球是如何在重力下运动的（抛体运动）。相邻两个球影之间有相同的时间间隔。

当加速度$\mathbf {a} \,$与速度$\mathbf {v} \,$不在同一条直线上时，选取适当的坐标系，可以将其按照平面直角坐标系分解，使质点的运动在其中一个坐标轴上的投影为匀速直线运动，另一个方向上为匀变速直线运动。根据独立作用原理，两者的合运动（即质点的轨迹）为一条抛物线的一部分。

抛体运动

主条目：平抛运动和斜抛运动

抛体运动具体包括平抛运动和斜（上、下）抛运动，和自由落体运动类似，它是在地球上向不同方向抛出的物体在忽略空气阻力的情况下的运动状况进行理想化的抽象模型。物体拥有一个非竖直方向的不为零初速度$\mathbf {v_{0}} \,\!$，和竖直向下、大小恒定为重力加速度g的加速度，落地前的轨迹为一条抛物线的一部分。这也正是抛物线名字的由来。

匀速圆周运动 向心加速度

主条目：匀速圆周运动和向心加速度

在匀速圆周运动中，速度大小不改变，方向不停改变，你需要保持垂直于其的加速度来改变方向。

若质点以不变的速率（速度大小）沿一个圆周沿同一方向运动，则质点作匀速圆周运动。

下面为向心加速度的推导。

如右图，某一时刻质点速度为$\mathbf {v} _{1}\,$，极短时间$dt\,$过后，质点沿圆周前行，速度变成$\mathbf {v} _{2}\,$。因为是匀速圆周运动，速度的大小保持为$v\,$，但方向会保持与圆相切（垂直于半径$r\,$），不断改变。关注图的左上部分，速度的改变量量$d\mathbf {v} \,$在解析失败 (未知函数“\betta”): {\displaystyle d\betta\,} 极小时近似于解析失败 (未知函数“\betta”): {\displaystyle vd\betta\,} ，方向大约沿半径向里，则该段时间内的平均加速度大小为

解析失败 (未知函数“\betta”): {\displaystyle a = \frac{v\cdot d\betta}{dt} = v \cdot \omega \,}

以上“近似”在$dt\to 0\,$时精确成立。又因为

$v=\omega {\dot {r}}\,$

得出

在匀速圆周运动中，质点具有向心加速度$\mathbf {a} _{n}$，其方向保持沿半径方向向里（因此不断变化），大小为

解析失败 (未知函数“\r”): {\displaystyle \begin{align} a_n & = \omega^2 \r & = \frac{v^2}{r} \end{align}\,.}

加速度的应用

加速度的伽利略变换

在经典物理下，即速度远小于光速、研究宏观物体时，我们使用伽利略变换来研究不同参考系间的加速度的联系：

$\mathbf {a} =\mathbf {a} '+\mathbf {a_{S_{1}}} \,.$

其中，$\mathbf {a} \,\!$为物体在原参考系下的加速度（小球相对于车的加速度），$\mathbf {a} '\,\!$为物体在参考系$S_{1}\,\!$下的加速度，$\mathbf {a_{S_{1}}} \,\!$为参考系$S_{1}\,\!$在原参考系下的加速度。考虑站在地上看车上的人抛出一个小球，这个公式告诉你：小球相对于地的加速度，等于小球相对于车的加速度加上车相对于地的加速度。这个式子是矢量表达式，即三个加速度不在同一条直线时，使用矢量加法成立。

在牛顿第二定律上的应用

主条目：牛顿第二定律

加速度最主要的应用之一是牛顿第二定律。简单地说，牛顿第二定律告诉我们，物体的加速度与其受合力成正比，与质量成反比，方向沿合力方向，在国际单位制中我们表示为

$\mathbf {F} =m\mathbf {a} \,.$

其中$\mathbf {F} \,\!$表示物体所受合外力，$m\,\!$为物体质量，$\mathbf {a} \,\!$为物体的加速度。

牛顿第二定律同样仅在经典物理下适用。此外，牛顿第二定律要求所处参考系为惯性参考系。 由于经典物理的研究几乎都会或多或少地涉及到物体在力的作用下的运动，又由于牛顿第二定律和伽利略变换的极度简洁性，使得牛顿第二定律成为了物体受力分析和运动状况之间的桥梁，从而使加速度成为经典物理中最重要的物理量之一。

加速度与电磁辐射

主条目：电磁辐射

加速度的另一个重要应用之处是带电粒子的电磁辐射（即你平时手机和收音机使用所需要的信号来源）。通过对麦克斯韦方程组的研究，我们可以将带电粒子产生电磁辐射的规律概括性地定性总结为：带电粒子的加速度产生电磁辐射，并且电磁辐射的强度和加速度大小正相关。

这种辐射常见于用带电粒子的碰撞实验中。这类实验的一个早期著名例子是卢瑟福用电子碰撞金箔的实验，这个实验导致了对原子结构的深入探索。而这类实验至今广泛见于在各种大型对撞机中，带电粒子以很高的速度运动，经受撞击后变慢、静止甚至反弹回来，这个过程中显然速度发生剧烈改变，一定经受了加速度不为零的过程，也一定会放出辐射。这样产生的辐射被称为轫致辐射。

加速度产生电磁辐射的另一个很典型的例子是回旋加速器（回旋辐射）。带电粒子在回旋加速器中作圆周运动，每半圈加速一次，同时运动半径增大从而形成螺旋轨道，最后以很高的速度射出。圆周运动需要向心加速度来维持，当速度相当高（与光速可比拟时，这时因为相对论效应而需使用同步回旋加速器）时，加速度太大以至于因为电磁辐射损失的能量过多，导致回旋加速器实际对粒子的加速作用有上限。然而这样产生的光能量高，频率稳定且可控，并且集中在一个很小的锥角里（相对论效应导致的前灯效应），因此是很好的大型物理用光源。这样的装置被称作光子工厂。

狭义相对论中的加速度

主条目：洛伦兹变换

狭义相对论用于速度可以和光速相比拟时、研究宏观物体的运动，并且要求参考系为惯性系。在狭义相对论中，我们对加速度的定义没有改变。然而，由于在狭义相对论中，不同的参考系有不同的时间和空间度量标准，即当前参考系中的加速度为当前参考系中的位移对当前参考系中的时间的二阶导数，因此在参考系变换（洛伦兹变换）时变得复杂很多。

设有两个参考系$S\,\!$、$S'\,\!$，在空间直角坐标系中，三个坐标轴相对应平行，在$t=t'=0\,\!$时刻两坐标系原点对齐，在$S\,\!$中$S'\,\!$以速率$v\,\!$沿x正方向运动。

下面为加速度的洛伦兹变换的一个十分概要的推导。你需要运用到微分的知识。

同一事件$P(x,y,z,t)\,\!$、$P'(x',y',z',t')\,\!$在两个参考系中的坐标转换如下：

${\begin{cases}x={\cfrac {x'-vt}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\y=y'\\z=z'\\t={\cfrac {t'-{\cfrac {v}{c^{2}}}\,x'}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\\end{cases}}\,.$

其中，$'\,\!$标示该物理量是在$S'\,\!$下的测量。用$\left(u_{x},u_{y},u_{z}\right)\,\!$表示一质点的速度，$\left(a_{x},a_{y},a_{z}\right)\,\!$表示其加速度。我们有定义式如下

${\begin{cases}{\cfrac {dx}{dt}}=u_{x}\\{\cfrac {du_{x}}{dt}}=a_{x}\end{cases}}\,.$

y、z方向的定义式与之类似。综合该定义式，利用坐标转换的t部分，将坐标转换的x、y、z连续两次进行一阶求导。

我们可以得到

${\begin{cases}a_{x}={\cfrac {\left(1-{\cfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}{\left(1+{\dfrac {vu'_{x}}{c^{2}}}\right)^{3}}}\,a'_{x}\\a_{y}={\cfrac {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}{\left(1+{\dfrac {vu'_{x}}{c^{2}}}\right)^{2}}}\,a'_{y}-{\cfrac {{\dfrac {vu'_{y}}{c^{2}}}\left(1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}{\left(1+{\dfrac {vu'_{x}}{c^{2}}}\right)}}\,a'_{x}\\a_{z}={\cfrac {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}{\left(1+{\dfrac {vu'_{x}}{c^{2}}}\right)^{2}}}\,a'_{z}-{\cfrac {{\dfrac {vu'_{z}}{c^{2}}}\left(1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}{\left(1+{\dfrac {vu'_{x}}{c^{2}}}\right)}}\,a'_{x}\end{cases}}\,.$

可以看出，在狭义相对论中，加速度的变换公式冗长而复杂，各分量的公式也极不相似。再加上如果要考虑到力，虽然$\mathbf {F} =m\mathbf {a}$仍然成立，但质量也会变得随参考系的不同而不同。以上原因导致加速度在牛顿力学中那种因为简洁而具有的优越性，在狭义相对论中不复存在。

加速度在广义相对论和量子力学中

假想实验：站在两种封闭电梯厢中两个人，无法分辨球的加速度是由惯性力还是真正的引力施加的。

在广义相对论中和在量子力学中，更多地是从能量、动量等的角度出发（类似于分析力学），而很少会像牛顿第二定律一样涉及到单一的力；实际上，即使在需要表示出“位移的二阶导数”这一个量的时候，会趋向于直接使用${\ddot {x}}\,$，等价于${\frac {d^{2}x}{dx^{2}}}$，来求解微分方程。因此，加速度作为一个被特别提出的物理量，在进一步的理论中已经很少被用到。

主条目：广义相对论入门和等效原理

运用到加速度的其中一个例子是等效原理，简单地说，它叙述了观测者不能在局部的区域内分辨出由加速度所产生的惯性力或由物体所产生的引力。比如，你站在地球上静止的电梯厢中向前方抛球，球会向下坠落，是因为地球的引力；而在远离任何星体的宇宙中的一个电梯厢，在以重力加速度$g$向上（定义你踩到的地面为下）加速运动时，你抛出一个球，仍然会向“下”坠落，是因为惯性力。作为在封闭电梯厢中的你无法分辨这两种情况，爱因斯坦据此提出，引力与惯性力等价。等效原理是广义相对论中的支柱性原理之一。