一致收斂

在數學中，一致收斂性（或稱均匀收敛）是函數序列的一種收斂定義，它較逐點收斂更強，並能保持一些重要的分析性質（如連續性）。

定義

設 $S$ 為一集合，$(M,d)$ 為一度量空間。若對一函數序列 $f_{n}:S\to M$，存在 $f:S\to M$ 滿足

對所有 $\epsilon >0$，存在 $N\in \mathbb {N}$，使得 $n\geq N\Rightarrow \forall x\in S,\quad d(f_{n}(x),f(x))<\epsilon$

則稱 $f_{n}$ 一致收斂到 $f$。

最常用的是 $M=\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ 的情形，此時條件寫成

對所有 $\epsilon >0$，存在 $N\in \mathbb {N}$，使得 $n\geq N\Rightarrow \forall x\in S,\quad |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon$

注意到，一致收敛和点点收敛定义的区别在于，在一致收敛中$N$仅与$\epsilon$相关，而在点点收敛中$N$还与$x$相关。所以一致收敛必定点点收敛，而反之则不然。

例子

在 [-1,1] 上一致收斂到絕對值函數的多項式序列

例子一：對任何 $[0,1]$ 上的連續函數 $f$，考慮多項式序列

$P_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right){n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}$

可證明 $P_{n}$ 在區間 $[0,1]$ 上一致收斂到函數 $f$。其中的 $b_{k,n}(x):={n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}$ 稱為 伯恩斯坦多項式。

透過坐标的平移與縮放，可知在任何閉區間上都能用多項式一致地逼近連續函數，這是斯通-维尔斯特拉斯定理的一個建構性證明。

逐點收斂而非一致收斂的例子

例子二：考慮區間 $[0,\pi ]$ 上的函數序列 $f_{n}(x):=\sin ^{n}(x)$，它逐點收斂到函數

$f(x)={\begin{cases}0&,x\neq \pi /2\\1&,x=\pi /2\end{cases}}$

然而這並非一致收斂。直觀地想像：當 $x$ 愈靠近 $\pi /2$，使 $f_{n}(x)$ 接近 $0$ 所需的 $n$ 便愈大。可以依此想法循定義直接證明，也可以利用下節關於連續的性質證明，因為在此例中 $f_{n}(x)$ 皆連續，而$f(x)$ 不連續。

性質

假設 $f_{n}$ 一致收斂到 $f$，此時有下述性質：

• 連續性：

1. 若$a$是集合$I$的闭包中的一个元素，且每個 $f_{n}$ 都在$a$上連續，則 $f$ 也在a上連續。
2. 若对集合I的每個紧子集$J$，每個 $f_{n}$ 都在$J$上連續，則$f$在$I$上連續。

• 與積分的交換：令 $S$ 為 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的開集，$M=\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$。若每個 $f_{n}$ 都是黎曼可積，則 $f$ 也是黎曼可積，而且 $\lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\mathrm {d} x=\int _{S}f\mathrm {d} x$。註：在勒貝格積分的框架下能得到更廣的結果。
• 與微分的交換：令 $S$ 為 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的開集，$M=\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$。若每個 $f_{n}$ 皆可微，且 $f_{n}'$ 一致收斂到函數 $g$，則 $f$ 亦可微，且 $f'=g$。

文獻

• Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
• G.H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148-156 (1918)
• Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5-10 (Paperback); ISBN 0-387-19374-X