全微分

全微分是微积分学的一个概念，一般有如下定义：

如果函数 $z=f(x,\ y)$ 在点 $(x,\ y)$ 的全增量

$\Delta z=f(x+\Delta x,\ y+\Delta y)-f(x,\ y)$

可表示为

$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$ ，

其中 $A,B$ 不依赖于 $\Delta x,\Delta y$ 而仅与 $x,y$ 有关，$\rho ={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}$ ，$o(\rho )$表示关于$\rho$的高阶无穷小量。此时称函数 $z=f(x,\ y)$ 在点 $(x,\ y)$ 可微分，而 $A\Delta x+B\Delta y$ 称为函数 $z=f(x,\ y)$ 在点 $(x,\ y)$ 的全微分，记作 $dz$ ，即

$dz=A\Delta x+B\Delta y$ 。

多元函数在某点的全微分存在的充分条件是函数在这个点各个偏导数存在且连续。但这句话反过来不正确，存在偏导数不连续但是多元函数可全微分的情况。如果不满足这个充分条件，那么一个多元函数能否全微分则必须由定义加以证明，即验证$\lim _{\rho \to 0}{\frac {f(x+\Delta x,\ y+\Delta y)-F'_{x}\Delta x-F'_{y}\Delta y}{\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}}=0$（其中$\rho ={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}$，$F'_{x}$和$F'_{y}$分别是多元函数$f(x,y)$对$x$和$y$的偏导数）是否成立。

参见

• 微分
• 偏导数
• 微积分