二項式係數

二項式係數可排列成帕斯卡三角形。

二項式係數在數學上是二項式定理中的係數族。其必然為正整數，且能以兩個非負整數為參數確定，此兩參數通常以n和k代表，並將二項式係數寫作${\tbinom {n}{k}}$，亦即是二項式冪(1 + x) ⁿ的多項式展式中，x ^k項的係數。如將二項式係數的n值順序排列成行，每行為k值由0至n列出，則構成帕斯卡三角形。

此數族亦常見於其他代數學領域中，尤其是組合數學。任何有n個元素的集合，由其衍生出擁有k個元素的子集，即由其中任意k個元素的組合，共有${\tbinom {n}{k}}$個。故此${\tbinom {n}{k}}$亦常讀作「n選取k」。二項式係數的特性使表達式${\tbinom {n}{k}}$的定義不再局限於n和k均為非負整數及k ≤ n，然此等表達式仍被稱為二項式係數。

雖然此數族早已被發現（見帕斯卡三角形），但表達式${\tbinom {n}{k}}$則是由Andreas von Ettingshausen於1826年始用。最早探討二項式係數的論述是十世紀的Halayudha寫的印度教典籍《Pingala的計量聖典》（chandaḥśāstra），及至約1150年，印度數學家Bhaskaracharya於其著作《Lilavati》 中給出一個簡單的描述。

二項式係數亦有不同的表達方式，包括：C(n, k)、_nC_k、ⁿC_k、$\scriptstyle C_{n}^{k}$、$\scriptstyle C_{k}^{n}$，其中的C代表組合（combinations）或選擇（choices）。

定義及概念

考慮包含0的自然數n和k，則二項式係數${\tbinom {n}{k}}$定義為(1 + X)ⁿ的展式中，單項X^k的係數，亦即在二項式定理中的係數

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}$

（任何交換環元素x、y中有定義），亦因此得名為「二項式係數」。

此數的另一出處在組合數學，表達了從n物中，不計較次序取k物有多少方式，亦即從一n元素集合中所能組成k元素子集的數量。此定義與上述定義相同，理由如下：若將冪(1 + X)ⁿ的n個因數逐一標記為i（從1至n），則任一k元素子集則建構成展式中的一個X^k項，故此該單項的係數等如此種子集的數量。亦因此，就任何自然數n和k而言，${\tbinom {n}{k}}$亦為自然數。此外，二項式係數亦見於很多組合問題的解答中，如由n個位元（如數字0或1）組成的所有序列中，其和為k的數目為${\tbinom {n}{k}}$，又如算式$k=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$，其中每一a_i均為非負整數，則有${\tbinom {n+k-1}{k}}$種寫法。這些例子中，大部分可視作等同於點算k個元素的組合的數量。

計算二項式係數

除展開二項式或點算組合數量之外，尚有多種方式計算${\tbinom {n}{k}}$的值。

遞歸公式

以下遞歸公式可計算二項式係數：

${\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}\quad \forall n,k\in \mathbb {N}$

其中特別指定：

${\binom {n}{0}}=1\quad \forall n\in \mathbb {N} \cup \{0\},$

${\binom {0}{k}}=0\quad \forall k\in \mathbb {N} .$

此公式可由計算(1 + X)ⁿ⁻¹(1 + X)中的X^k項，或點算集合{1, 2, ..., n}的k個元素組合中包含n與不包含n的數量得出。

顯然，如果k > n，則${\tbinom {n}{k}}=0$。而且對所有n，${\tbinom {n}{n}}=1$，故此上述遞歸公式可於此等情況下中斷。遞歸公式可用作建構帕斯卡三角形。

乘數公式

個別二項式係數可用以下公式計算：

${\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {n-(k-i)}{i}},$

上式中第一個分數的分子是一階乘冪。此公式可以二項式係數在計算組合數量的意義理解：分子為從n個元素中取出k個元素的序列之數量，當中包含同樣的元素但不同排列次序的序列。分母則計算同樣的k個元素可有多少種排序方式。

階乘公式

二項式係數最簡潔的表達式是階乘:

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}\quad {\mbox{for }}\ 0\leq k\leq n.$

其中「n!」是n的階乘，此公式從上述乘數公式中分子分母各乘以(n − k)!取得，所以此公式中的分子分母有眾同共同因子。除非先行抵銷兩邊中的共同因子，否則以此公式進行計算時較率欠佳，尤因階乘的數值增長特快。惟此公式展示了二項式係數的對稱特性：

${\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}\quad {\mbox{for }}\ 0\leq k\leq n.$

1

一般化形式及其與二項式級數的關係

若將n換成任意數值（負數、實數或複數）α，甚至是在任何能為正整數給出逆元素的交換環中的一元素，則二項式係數可籍乘數公式擴展：

${\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha ^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}\quad {\mbox{for }}k\in \mathbb {N} {\mbox{ and arbitrary }}\alpha .$

此定義能使二項式公式一般化（其中一單項為1），故${\tbinom {\alpha }{k}}$仍能相稱地稱作二項式係數：

$(1+X)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\alpha \choose k}X^{k}.$

2

此公式對任何複數α及X，|X| < 1時成立，故此亦可視作X的冪級數的恆等式，即係數為常數1，任意冪之級數定義，且在此定義下，對於冪的恆等式成立，例如

$(1+X)^{\alpha }(1+X)^{\beta }=(1+X)^{\alpha +\beta }\quad {\mbox{and}}\quad ((1+X)^{\alpha })^{\beta }=(1+X)^{\alpha \beta }.$

若α是一非負整數n，則所有k > n的項為零，此無窮級數變成有限項的和，還原為二項式公式，但對於α的其他值，包括負數和有理數，此級數為無窮級數。

帕斯卡三角形 (楊輝三角形)

帕斯卡三角形的第1000行，垂直排列，且以灰階表示係數的十進制數位，向右對齊，故左邊邊界約是二項式係數的對數，圖中可見數族形成一對數凹數列。

主条目：帕斯卡法則

主条目：帕斯卡三角形

帕斯卡法則是一重要的遞歸等式：

${n \choose k}+{n \choose k+1}={n+1 \choose k+1},$

3

此式可以用於數學歸納法，以証明${\tbinom {n}{k}}$對於所有n和k均為自然數（等同於証明k!為所有k個連續整數之積的因數），此特性並不易從公式(1)中得出。

帕斯卡法則建構出帕斯卡三角形:

0:									1
1:								1		1
2:							1		2		1
3:						1		3		3		1
4:					1		4		6		4		1
5:				1		5		10		10		5		1
6:			1		6		15		20		15		6		1
7:		1		7		21		35		35		21		7		1
8:	1		8		28		56		70		56		28		8		1

第n橫行列出${\tbinom {n}{k}}$的k = 0,…,n項，其建構方法為在外邊填上1，然後將上一行中每兩個相鄰數相加的和填在其下，此方法可快速地計算二項式係數而不涉及乘法或分數，例如從第5橫行可馬上得出

(x + y)⁵ = 1 x⁵ + 5 x⁴y + 10 x³y² + 10 x²y³ + 5 x y⁴ + 1 y⁵

在斜線上相鄰項的差就是上一斜線上的數值，此乃上述遞歸等式(3)的延申意義。

組合數學和統計學

二項式係數是組合數學中的重要課題，因其可用於眾多常見的點算問題中，例如

• 共有${\tbinom {n}{k}}$種方式從n元素中選取k項。見組合。
• 共有${\tbinom {n+k-1}{k}}$種方式從一個n元素集合中選取（容許重覆選取）k元素建立多重集。
• 共有${\tbinom {n+k}{k}}$個字符串包含k個1和n個零。
• 共有${\tbinom {n+1}{k}}$個字符串包含k個1和n個零，且沒有兩個1相鄰。
• 卡塔蘭數是${\frac {\tbinom {2n}{n}}{n+1}}$
• 統計學中的二項式分佈是${\tbinom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\!$
• 貝茲曲線的公式。

以多項式表達二項式係數

就任就非負整數k，$\scriptstyle {\binom {t}{k}}$可表達為一多項式除以k!：

${\binom {t}{k}}={\frac {(t)_{k}}{k!}}={\frac {(t)_{k}}{(k)_{k}}}={\frac {t(t-1)(t-2)\cdots (t-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots (2)(1)}};\,\!$

此為帶有理數係數，變量是t的多項式，可對任意實數或複數t運算以得出二項式係數，此「廣義二項式係數」見於牛頓廣義二項式定理。

就任意k，多項式${\tbinom {t}{k}}$可看成是惟一的k次多項式p(t)滿足p(0) = p(1) = ... = p(k − 1) = 0 及 p(k) = 1.

其係數可以第一類斯特靈數表示，即：

${\binom {t}{k}}=\sum _{i=0}^{k}{\frac {s_{k,i}}{k!}}t^{i}$

${\tbinom {t}{k}}$之導數可以對數微分計算：

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\binom {t}{k}}={\binom {t}{k}}\sum _{i=0}^{k-1}{\frac {1}{t-i}}\,.$

以二項式係數為多項式空間之基底

在任何包含Q的域中，最多d階的多項式有惟一的線性組合$\sum _{k=0}^{d}a_{k}{\binom {t}{k}}$。係數a_k是數列p(0), p(1), …, p(k)的第k差分，亦即：

$a_{k}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {k}{i}}p(i).$

3.5

整數值多項式

每一多項式${\tbinom {t}{k}}$在整數參數時均是整數值（可在k上，用帕斯卡法則以歸納法証明）。故此，二項式係數多項式的整數線性組合亦為整數值。反之，(3.5)表達了任何整數值的多項式均是二項式係數多項式的整數線性組合。一般而言，對於一個特徵0域K的任何子環R，在K[t]內的多項式在整數參數時之值均在R內當且僅當該多項式是一二項式係數多項式的R-線性組合。

例

整數值多項式 3t(3t + 1)/2 可表達作：

$9{\tbinom {t}{2}}+6{\tbinom {t}{1}}+0{\tbinom {t}{0}}$

有關二項式係數的恆等式

階乘公式能聯係相鄰的二項式係數，例如在k是正整數時，對任意n有：

${\binom {n}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}$

再者：

${\binom {n-1}{k}}-{\binom {n-1}{k-1}}={\frac {n-2k}{n}}{\binom {n}{k}}.$

參考文獻

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• Shilov, G. E. Linear algebra. Dover Publications. 1977. ISBN 9780486635187. 

外部連結

• Calculation of Binomial Coefficient

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