曼德博集合

如果c点属于曼德博集合M则为黑色，反之为白色

曼德博集合（Mandelbrot set，或译為曼德布洛特复数集合）是一种在复平面上组成分形的点的集合，以數學家本華·曼德博的名字命名。曼德博集合與朱利亚集合有些相似的地方，例如使用相同的复二次多项式來进行迭代。

定义

曼德博集合可以用复二次多项式来定义：

$f_{c}(z)=z^{2}+c\,$

其中 $c$ 是一个复数參数。

从 $z=0$ 开始对 $f_{c}(z)$ 进行迭代：

$z_{n+1}=z_{n}^{2}+c,n=0,1,2,...$

$z_{0}=0\,$

$z_{1}=z_{0}^{2}+c=c\,$

$z_{2}=z_{1}^{2}+c=c^{2}+c\,$

每次迭代的值依序如以下序列所示：

$(0,f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots )$

不同的参数 $c$ 可能使序列的绝对值逐漸發散到无限大，也可能收斂在有限的區域内。

曼德博集合 $M$ 就是使序列不延伸至无限大的所有复数 $c$ 的集合。

相關的定理

定理一

若 $|c|\leq {\frac {1}{4}}$，則 $c\in {M}$

證明：

假設 $|c|\leq {\frac {1}{4}}$ 為真

則$|z_{1}|=|c|\leq {\frac {1}{4}}<{\frac {1}{2}}$

第一步：

當 $n=2\,$ 時

$|z_{2}|=|z_{1}^{2}+c|=|c^{2}+c|\leq |c^{2}|+|c|=|c|^{2}+|c|$

因為 $|c|\leq {\frac {1}{4}}$

$|c|^{2}+|c|\leq {\frac {1}{16}}+{\frac {1}{4}}<{\frac {1}{2}}$

由以上可得知 $|z_{2}|<{\frac {1}{2}}$

第二步：

假設 $|z_{n}|<{\frac {1}{2}}\,$ 成立

$|z_{n+1}|=|z_{n}^{2}+c|\leq |z_{n}|^{2}+|c|<\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}$

由上式可得知 $|z_{n+1}|<{\frac {1}{2}}$

由數學歸納法可得知對於所有的n(n=1,2,...)，$|z_{n}|\,$ 皆比 ${\frac {1}{2}}\,$ 小。

當n趨近無限大時 $|z_{n}|\,$ 依然沒有發散，所以 $c\in {M}$，故得證。

定理二

若 $c\in {M}$，則 $|c|\leq {2}$

證明：

假設 $|c|>2\,$

則 $|z_{1}|=|c|,|z_{1}|>2\,$

第一步：

當 $n=2\,$ 時

$|z_{2}|=|z_{1}^{2}+c|=|c^{2}+c|\geq |c^{2}|-|c|=|c|^{2}-|c|$

由 $|c|>2\,$，左右同乘 $|c|\,$ 再減去 $|c|\,$ 可得到下式

$|c|^{2}-|c|>2|c|-|c|=|c|\,$

由以上可得知 $|z_{2}|>|c|\,$

第二步：

假設 $|z_{n}|>|c|\,$ 成立，則 $|z_{n}|>2\,$

$|z_{n+1}|=|z_{n}^{2}+c|\geq |z_{n}^{2}|-|c|=|z_{n}|^{2}-|c|$

因為 $|z_{n}|>|c|\,$

$|z_{n}|^{2}-|c|>|z_{n}|^{2}-|z_{n}|\,$

由 $|z_{n}|>2\,$，左右同乘 $|z_{n}|\,$ 再減去 $|z_{n}|\,$ 可得到下式

$|z_{n}|^{2}-|z_{n}|>2|z_{n}|-|z_{n}|=|z_{n}|\,$

由以上可得知 $|z_{n+1}|>|z_{n}|\,$

由數學歸納法可得知 $2<|{z_{1}}|<|{z_{2}}|<...<|{z_{n}}|<|z_{n+1}|<|z_{n+2}|\,$，可看出隨著迭代次數增加 $|z_{n}|\,$ 逐漸遞增並發散。

若$|z_{n}|\,$不发散，则收敛于某个常数$a>|c|>2$,

由$|z_{n+1}|\geq |z_{n}|^{2}-|c|$ 再取极限得 $a\geq a^{2}-|c|$ 即 $a^{2}-a\leq |c|$。

又 $a^{2}-a=a(a-1)\geq a>|c|$，矛盾，故$|z_{n}|\,$发散。

所以若 $|c|>2\,$，則 $c\notin {M}$，故得證。

定理三

若 $c\in {M}$，則 $|z_{n}|\leq {2},(n=1,2,...)$

證明：

要證明若 $|z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,$，則 $c\notin {M}$

首先分別探討 $|c|>2\,$ 與 $|c|\leq 2$ 兩種情形

由定理二可知道 $|z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,$ 且 $|c|>2\,$ 時， $c\notin {M}$。

接著要證明 $|c|\leq 2$ 時的情況：

假設 $|z_{n}|>2\,$，因為 $|c|\leq 2$ ，所以 $|z_{n}|>|c|\,$ ，而

$|z_{n+1}|=|z_{n}^{2}+c|\geq |z_{n}^{2}|-|c|=|z_{n}|^{2}-|c|$

因為 $|z_{n}|>|c|\,$

$|z_{n}|^{2}-|c|>|z_{n}|^{2}-|z_{n}|\,$

由 $|z_{n}|>2\,$，左右同乘 $|z_{n}|\,$ 再減去 $|z_{n}|\,$ 可得到下式

$|z_{n}|^{2}-|z_{n}|>2|z_{n}|-|z_{n}|=|z_{n}|\,$

由以上可得知 $|z_{n+1}|>|z_{n}|\,$

由數學歸納法可得知 $2<|{z_{n}}|<|z_{n+1}|<|z_{n+2}|<...\,$，可看出隨著迭代次數增加 $|z_{n}|\,$ 逐漸遞增並發散。

所以在 $|z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,$ 且 $|c|\leq 2$ 的情況下也是 $c\notin {M}$。

綜合上述可得知不論 $|c|\,$為多少

若 $|z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,$，則 $c\notin {M}$，故得證。

利用定理三可以在程式計算時快速地判斷 $|z_{n}|\,$是否會發散。

计算的方法

曼德博集合一般用计算机程序计算。对于大多数的分形软件，例如Ultra fractal，内部已经有了比较成熟的例子。下面的程序是一段伪代码，表达了曼德博集合的计算思路。

For Each c in Complex
 repeats = 0
 z = 0
 Do
  z = z^2 + c
  repeats = repeats + 1
 Loop until abs(z) > EscapeRadius or repeats > MaxRepeats '根據定理三，EscapeRadius可設為2。
 If repeats > MaxRepeats Then
  Draw c,Black                                            '如果迭代次數超過MaxRepeats，就將c認定為屬於曼德博集合，並設為黑色。
 Else
  Draw c,color(z,c,repeats)                               'color函數用來決定顏色。
 End If
Next

決定顏色的一些方法

1. 直接利用循环终止时的Repeats
2. 综合利用z和Repeats
3. Orbit Traps

也可以用Mathematica制作 DensityPlot[Block[{z, t = 0}, z = x + y*I; While[(Abs[z] < 2.0) && (t < 100), ++t; z = z^2 + x + y*I]; Return[t]],{x, -2, 0.8}, {y, -1.5, 1.5}, PlotPoints -> 500, Mesh -> False];

各種圖示

動畫

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