域 (数学)

在抽象代数中，域（Field）是一种可進行加、減、乘和除（除了除以零之外）運算的代數結構。域的概念是数域以及四则运算的推广。

域是环的一种。域和一般的环的区别在于域要求它的元素（除零元素之外）可以进行除法运算，这等价于说每个非零的元素都要有乘法逆元。同时，在现代的定义中，域中的元素关于乘法要是可交换的。简单来说，域是乘法可交换的除环。乘法非交换的除环则称为体(Körper, corps)，或者反称域(skew field)。在比较旧的定义中，除环被称为“域”，而现代意义上的域被称为“交换域”。

定义

定义 1

域是交换性除环。

定义 2

域是一種交換環 (F, +, *)，當中加法單位元（0）不等於乘法單位元（1），且所有非零元素有乘法逆元。

定义 3

域明确的满足如下性质：

在加法和乘法上封閉

對所有屬於F的$a,b$，$a+b$和$a*b$屬於F（另一種說法：加法和乘法是F上的二元運算）。

加法和乘法符合結合律

對所有屬於F的$a,b,c$，$(a+b)+c=a+(b+c)$，$(a*b)*c=a*(b*c)$

加法和乘法符合交換律

對所有屬於F的$a,b,$, $a+b=b+a$，$a*b=b*a$

符合乘法對加法的分配律

對所有屬於F的$a,b,c$，$a*(b+c)=(a*b)+(a*c)$

存在加法單位

在F中有元素0，使得所有屬於F的$a$，$a+0=a$

存在乘法單位

在F中有不同于0的元素1，使得所有屬於F的$a$，$a*1=a$

存在加法逆元

對所有屬於F的$a$，存在$-a$使得$a+(-a)=0$

存在乘法逆元

對所有$a\neq 0$，存在元素$a^{-\!1}$使得$a*a^{-1}=1$

其中0 ≠ 1 的要求排除了没有什么意义的只由一个元素组成的域。

由以上性质可以得出一些最基本的推论:

−(a * b) = (−a) * b = a * (−b)

a * 0 = 0

如果 a * b = 0 ，则要么 a = 0 ，要么 b = 0

例子

• 常见的数域都是域。比如说，全体复数的集合$\mathbb {C}$对于加法和乘法构成一个域。全体有理数的集合$\mathbb {Q}$也是一个域，它是$\mathbb {C}$的子域，并且不包含更小的子域了。

• 代数数域: 代数数域是有理数域$\mathbb {Q}$的有限扩域，也就是说代数数域是$\mathbb {Q}$上的有限维向量空间。代数数域都同构于$\mathbb {C}$的子域，并且这个同构保持$\mathbb {Q}$不变，即这个同构把每个有理数都映射到它自身。代数数域是代数数论研究的对象。

• 代数数构成的域：所有的代数数的集合对于加法和乘法构成一个域，记作${\overline {\mathbb {Q} }}$。${\overline {\mathbb {Q} }}$是有理数域$\mathbb {Q}$的代数闭包(见下)。${\overline {\mathbb {Q} }}$是特征为零的代数封闭的域的一个例子。

• 全体实数的集合$\mathbb {R}$对于加法和乘法构成一个域。实数域是复数域$\mathbb {C}$的子域，也是一个有序域。后者使得实数域上能够建立起微积分理论。

• 所有的实代数数的集合也构成一个域，它是$\mathbb {R}$的一个子域。

• 任意一个有限域的元素个数是一个素数 q 的乘方，一般记作 F_q ，就是所谓的伽罗瓦域。任意一个元素个数是素数 q 的域都同构于 Z/pZ = {0, 1, ..., p − 1} 。令 p = 2, 就得到最小的域：F₂ 。F₂ 只含有两个元素 0 和 1运算法则如下：

     ⊕  0  1        ∧  0  1
     0  0  1        0  0  0
     1  1  0        1  0  1

• 设 E 和 F 是两个域， E 是 F 的子域，则 F 是 E 的 扩域。设 x 是 F 中的一个元素，则存在着一个最小的同时包含 E 和 x 的 F 的子域，记作 E(x) ， E(x)称作 E 在 F 中关于 x 的单扩张。比如说，复数域$\mathbb {C}$就是实数域$\mathbb {R}$在$\mathbb {C}$中关于 虚数单位 i 的单扩张。

• 每一个有乘法么元的环 R 都对应着一个包含它的域，称为它的分式域，记作 K(R)。分式域的具体构造方法是定义类似于最简分数的等价类，再将环“嵌入”其中(详见分式域)。可以证明， K(R) 是包含 R 的“最小”的域。

• 设 F 是一个域，定义 F(X) 是所有以 F 中元素为系数的分式的集合，则 F(X) 是 F 的一个扩域。 F(X) 是 F 上的一个无穷维的向量空间，这是域的超越扩张的一个例子。

• 设 F 是一个域， p(X) 是多项式环 F[X] 上的一个不可约多项式，则商环 F[X]/<p(X)> 是一个域。其中的 <p(X)> 表示由 p(X) 生成的理想。举例来说， R[X]/<X² + 1> 是一个域(同构于复数域 $\mathbb {C}$ )。可以证明， F 的所有单扩张都同构于此类形式的域。

• 若 V 是域 F 上的一个代數簇，则所有 V → F 的有理函数构成一个域，称为 V 的函数域。

• 若 S 是一个黎曼曲面，则全体 S → C 的亚纯函数构成一个域。

• 由于序数的类不是集合，因此在其上定义的尼姆数不能构成真正的域。但它满足域的所有条件，且其任意封闭子集（如小于$2^{2^{n}}$的所有自然数构成的子集）都是域。

基本性质

• 域F中的所有非零元素的集合(一般记作F^×) 是一个关于乘法的阿贝尔群。F^×的每个有限子群都是循环群。

• 若存在正整数n使得0 = 1 + 1 + ... + 1 (n 个1)，那么这样的n中最小的一个称为这个域的特征，特征要么是一个素数 p，要么是0（表示这样的n不存在）。 此时 $F$ 中最小的子域分别是 $\mathbb {Q}$ 或有限域 $\mathbb {F} _{p}$，称之为 $F$ 的素域。

• 一个交换环是域当且仅当它的理想只有自身和零理想。

• 在选择公理成立的假设下，对每个域F都存在着唯一的一个域G（在同构意义上），G包含F，G是F的代数扩张，并且G代数封闭。G称作由F确定的代数闭包。在很多情况下上述的同构并不是唯一的，因此又说G是F的一个代数闭包。

參見

• 特徵 (代数)
• 環論
• 域論
• 有序域