范畴论 (数学)：修订间差异
小 →范畴的例子 |
小 “范畴理论”改到“范畴论”，见本页讨论 |
||
| 第3行： | 第3行： | ||
== 背景 == |
== 背景 == |
||
所谓一个'''范畴'''就是试图抓住一类数学对象(比如[[群论]]中的[[群]])的本质的数学结构。传统的作法是要集中注意力于这些数学对象(比如群)本身，范畴 |
所谓一个'''范畴'''就是试图抓住一类数学对象(比如[[群论]]中的[[群]])的本质的数学结构。传统的作法是要集中注意力于这些数学对象(比如群)本身，范畴论的作法则是要强调数学对象间保持对象结构不变的映射。以群论为例，保持对象结构不变的映射就是所谓的[[群同态]]。不同的范畴可以用[[函子]]相联系。函子是一般化了的[[函数]]。函子把一个范畴中的对象和另一个范畴中的对象联系起来，同时把前一个范畴中的映射和后一个范畴中的映射也联系起来。许多时候一些“自然构造”，比如[[拓扑空间]]的[[基本群]]，可以用函子来表达。更进一步，这些构造“自然的发生联系”。这就引出了[[自然变换]]的概念。所谓自然变换，就是把一个函子映射为另一个函子。数学中经常会遇到“自然同构”，自然同构的两个数学对象(本质上)是正则相关的。自然同构的概念可以精确的描述这一现象。 |
||
==历史注记== |
==历史注记== |
||
| 第11行： | 第11行： | ||
艾伦堡和麦克兰说，他们的目的在于理解自然映射；为此，必须定义函子；为了定义函子，就自然地要引进范畴。 |
艾伦堡和麦克兰说，他们的目的在于理解自然映射；为此，必须定义函子；为了定义函子，就自然地要引进范畴。 |
||
[[同调代数]]由于计算上的需要而使用范畴 |
[[同调代数]]由于计算上的需要而使用范畴论，这对范畴论起到了推进作用；此后范畴论又在[[代数几何]]的公理化过程中得到发展。代数几何与[[罗素-怀特海德]]的关于数学统一性基础的观点相抵触。广义范畴论-更容纳了语意灵活性和[[高阶逻辑]]等多种新特征的[[泛代数]]-随后产生，现在被运用到数学的所有分支。 |
||
特殊范畴[[拓扑斯]]甚至可以代替[[公理集合论]]作为数学的基础。然而范畴 |
特殊范畴[[拓扑斯]]甚至可以代替[[公理集合论]]作为数学的基础。然而范畴论对这些范围广泛的基础应用还是有争议的；但作为[[构造性数学]]的基础或注释，范畴论被研究的相当透彻。尽管如此，可以说，尤其是公理集合论，至今仍然是数学家们的通用语言，并没有被范畴论的注释所取代。将范畴论引入大学程度的教学（在《伯克霍夫-麦克兰》和《麦克兰-伯克霍夫》这两本[[抽象代数]]的教科书的区别上可以印证）还是遭到了相当的反对。 |
||
[[范畴逻辑]]是[[直觉逻辑]]中[[类型理论]]的一个被明确定义的分支，在计算机学科的[[功能性编程]]和[[领域理论|语域理论]]中均有应用，并且都是在[[笛卡尔闭范畴]]中对[[兰姆达演算]]的非句法性描述。至少，用范畴 |
[[范畴逻辑]]是[[直觉逻辑]]中[[类型理论]]的一个被明确定义的分支，在计算机学科的[[功能性编程]]和[[领域理论|语域理论]]中均有应用，并且都是在[[笛卡尔闭范畴]]中对[[兰姆达演算]]的非句法性描述。至少，用范畴论可以精确地描述在这些相关的领域里什么是共同的（在[[抽象]]的意义上）。 |
||
==范畴== |
==范畴== |
||
| 第55行： | 第55行： | ||
*任何[[有向图]]对应于一个小范畴：其对象是图的[[顶点]]，其映射是图的路径，其复合映射是路径的连接。称此范畴为有向图的“自由范畴”。 |
*任何[[有向图]]对应于一个小范畴：其对象是图的[[顶点]]，其映射是图的路径，其复合映射是路径的连接。称此范畴为有向图的“自由范畴”。 |
||
*设 ''I'' 是个[[集合]]，“I上的[[离散范畴]]”是一个小范畴，以 ''I'' 的元素为对象，以 ''I'' 的恒等映射为其唯一的映射。 |
*设 ''I'' 是个[[集合]]，“I上的[[离散范畴]]”是一个小范畴，以 ''I'' 的元素为对象，以 ''I'' 的恒等映射为其唯一的映射。 |
||
*任何范畴 ''C'' 可以在另一种看法下成为一个新的范畴：它具有相同的对象，然而所有映射都是反方向的。称此为[[对偶 (范畴 |
*任何范畴 ''C'' 可以在另一种看法下成为一个新的范畴：它具有相同的对象，然而所有映射都是反方向的。称此为[[对偶 (范畴论)|“对偶”或者“反范畴”]]，记作 ''C''<sup>op</sup>。 |
||
*设 ''C'' 和 ''D'' 是范畴，则它们的“直积范畴”''C'' × ''D'' 被定义为：其对象为取自 ''C'' 的一个对象和取自 ''D'' 的一个对象的有序对，其映射亦为取自 ''C'' 的一个映射和取自 ''D'' 的一个映射的有序对，其复合映射则由其分量分别复合。 |
*设 ''C'' 和 ''D'' 是范畴，则它们的“直积范畴”''C'' × ''D'' 被定义为：其对象为取自 ''C'' 的一个对象和取自 ''D'' 的一个对象的有序对，其映射亦为取自 ''C'' 的一个映射和取自 ''D'' 的一个映射的有序对，其复合映射则由其分量分别复合。 |
||
2004年12月21日 (二) 17:50的版本
范畴论是抽象地处理数学结构以及结构之间联系的一门数学理论。有些人开玩笑的称之为“抽象的胡说”.
背景
所谓一个范畴就是试图抓住一类数学对象(比如群论中的群)的本质的数学结构。传统的作法是要集中注意力于这些数学对象(比如群)本身，范畴论的作法则是要强调数学对象间保持对象结构不变的映射。以群论为例，保持对象结构不变的映射就是所谓的群同态。不同的范畴可以用函子相联系。函子是一般化了的函数。函子把一个范畴中的对象和另一个范畴中的对象联系起来，同时把前一个范畴中的映射和后一个范畴中的映射也联系起来。许多时候一些“自然构造”，比如拓扑空间的基本群，可以用函子来表达。更进一步，这些构造“自然的发生联系”。这就引出了自然变换的概念。所谓自然变换，就是把一个函子映射为另一个函子。数学中经常会遇到“自然同构”，自然同构的两个数学对象(本质上)是正则相关的。自然同构的概念可以精确的描述这一现象。
历史注记
范畴，函子和自然变换是由萨缪尔·艾伦堡和桑德斯·麦克兰在1945年引进的。这些概念最初出现在拓扑学，尤其是代数拓扑学里，在同态（具有几何直观）转化成同调论（公理化方法）的过程中起了重要作用。乌拉姆说，在1930年代的后期，波兰学派中曾出现类似的想法。
艾伦堡和麦克兰说，他们的目的在于理解自然映射；为此，必须定义函子；为了定义函子，就自然地要引进范畴。
同调代数由于计算上的需要而使用范畴论，这对范畴论起到了推进作用；此后范畴论又在代数几何的公理化过程中得到发展。代数几何与罗素-怀特海德的关于数学统一性基础的观点相抵触。广义范畴论-更容纳了语意灵活性和高阶逻辑等多种新特征的泛代数-随后产生，现在被运用到数学的所有分支。
特殊范畴拓扑斯甚至可以代替公理集合论作为数学的基础。然而范畴论对这些范围广泛的基础应用还是有争议的；但作为构造性数学的基础或注释，范畴论被研究的相当透彻。尽管如此，可以说，尤其是公理集合论，至今仍然是数学家们的通用语言，并没有被范畴论的注释所取代。将范畴论引入大学程度的教学（在《伯克霍夫-麦克兰》和《麦克兰-伯克霍夫》这两本抽象代数的教科书的区别上可以印证）还是遭到了相当的反对。
范畴逻辑是直觉逻辑中类型理论的一个被明确定义的分支，在计算机学科的功能性编程和语域理论中均有应用，并且都是在笛卡尔闭范畴中对兰姆达演算的非句法性描述。至少，用范畴论可以精确地描述在这些相关的领域里什么是共同的（在抽象的意义上）。
范畴
定义
一个“范畴”包括下列3个组成部分
- 一个“对象”的类
- 对任意两个对象 A 和 B，存在一个从 A 到 B 的映射集合 Mor(A,B)。如果 f 属于 Mor(A,B)，则记为 f : A → B （有些作者将映射集记为 Hom(A,B) ）
- 对任意三个对象 A， B 和 C，存在一个二元运算 Mor(A,B) × Mor(B,C) → Mor(A,C)，称此为“复合映射”；由 f : A → B 和 g : B → C 复合而成，记为 g·f，或者 gf（有些作者将此记为 fg ）。
以上组成部分若满足如下两条公理，则称为范畴：
- （结合性）如果有 f : A → B， g : B → C 和 h : C → D，则 h·(g·f) = (h·g)·f；
- （等价性）对任意对象 X，存在一个映射 idX : X → X，称为“X的恒等映射”，使得对任何映射 f : A → B，都有 idB·f = f = f·idA。
从以上公理出发可以得到，一个对象的恒等映射是唯一的。有些作者将对象本身用恒等映射来定义，这在本质上是相同的。
如果对象的类确实是个集合，那么这种范畴就被称为“小范畴”。许多重要的范畴不是小范畴。
范畴中的映射有时又称为“箭头”，这种叫法来自于交换图表。
范畴举例
每一范畴都由其对象，映射，和复合映射来表述。为了方便起见，以下的“函数”即是指映射，不再一一说明。
- Set 是所有集合和它们彼此之间所有的函数映射构成的范畴
- 任何拟序集 (P, ≤) 构成一个小范畴，其对象是 P 的要素，其映射是从 x 指向 y 的箭头，其中 x ≤ y。
- 任何以单一对象 x （x为任意固定集合）为基础的独异点构成一个小范畴。独异点的任意元素通过二元运算给出一个从 x 到 x 的映射，所有这些映射恰好是范畴的所有映射；范畴的复合映射也正好是独异点的二元运算。事实上，范畴可以看成独异点的推广；关于独异点的定义和定理有一些可以推广到范畴。
- 任何有向图对应于一个小范畴：其对象是图的顶点，其映射是图的路径，其复合映射是路径的连接。称此范畴为有向图的“自由范畴”。
- 设 I 是个集合，“I上的离散范畴”是一个小范畴，以 I 的元素为对象，以 I 的恒等映射为其唯一的映射。
- 任何范畴 C 可以在另一种看法下成为一个新的范畴：它具有相同的对象，然而所有映射都是反方向的。称此为“对偶”或者“反范畴”，记作 Cop。
- 设 C 和 D 是范畴，则它们的“直积范畴”C × D 被定义为：其对象为取自 C 的一个对象和取自 D 的一个对象的有序对，其映射亦为取自 C 的一个映射和取自 D 的一个映射的有序对，其复合映射则由其分量分别复合。