范畴论 (数学)

范畴论是抽象地处理数学结构以及结构之间联系的一门数学理论。有些人开玩笑的称之为“抽象的胡说”.

背景

所谓一个范畴就是试图抓住一类数学对象(比如群论中的群)的本质的数学结构。传统的作法是要集中注意力于这些数学对象(比如群)本身，范畴论的作法则是要强调数学对象间保持对象结构不变的映射。以群论为例，保持对象结构不变的映射就是所谓的群同态。不同的范畴可以用函子相联系。函子是一般化了的函数。函子把一个范畴中的对象和另一个范畴中的对象联系起来，同时把前一个范畴中的映射和后一个范畴中的映射也联系起来。许多时候一些“自然构造”，比如拓扑空间的基本群，可以用函子来表达。更进一步，这些构造“自然的发生联系”。这就引出了自然变换的概念。所谓自然变换，就是把一个函子映射为另一个函子。数学中经常会遇到“自然同构”，自然同构的两个数学对象(本质上)是正则相关的。自然同构的概念可以精确的描述这一现象。

历史注记

范畴，函子和自然变换是由萨缪尔·艾伦堡和桑德斯·麦克兰在1945年引进的。这些概念最初出现在拓扑学，尤其是代数拓扑学里，在同态（具有几何直观）转化成同调论（公理化方法）的过程中起了重要作用。乌拉姆说，在1930年代的后期，波兰学派中曾出现类似的想法。

艾伦堡和麦克兰说，他们的目的在于理解自然映射；为此，必须定义函子；为了定义函子，就自然地要引进范畴。

同调代数由于计算上的需要而使用范畴论，这对范畴论起到了推进作用；此后范畴论又在代数几何的公理化过程中得到发展。代数几何与罗素-怀特海德的关于数学统一性基础的观点相抵触。广义范畴论-更容纳了语意灵活性和高阶逻辑等多种新特征的泛代数-随后产生，现在被运用到数学的所有分支。

特殊范畴拓扑斯甚至可以代替公理集合论作为数学的基础。然而范畴论对这些范围广泛的基础应用还是有争议的；但作为构造性数学的基础或注释，范畴论被研究的相当透彻。尽管如此，可以说，尤其是公理集合论，至今仍然是数学家们的通用语言，并没有被范畴论的注释所取代。将范畴论引入大学程度的教学（在《伯克霍夫-麦克兰》和《麦克兰-伯克霍夫》这两本抽象代数的教科书的区别上可以印证）还是遭到了相当的反对。

范畴逻辑是直觉逻辑中类型理论的一个被明确定义的分支，在计算机学科的功能性编程和语域理论中均有应用，并且都是在笛卡尔闭范畴中对兰姆达演算的非句法性描述。至少，用范畴论可以精确地描述在这些相关的领域里什么是共同的（在抽象的意义上）。

范畴

定义

一个“范畴”包括下列3个组成部分

• 一个“对象”的类
• 对任意两个对象 A 和 B，存在一个从 A 到 B 的映射集合 Mor(A,B)。如果 f 属于 Mor(A,B)，则记为 f : A → B （有些作者将映射集记为 Hom(A,B) ）
• 对任意三个对象 A， B 和 C，存在一个二元运算 Mor(A,B) × Mor(B,C) → Mor(A,C)，称此为“复合映射”；由 f : A → B 和 g : B → C 复合而成，记为 g·f，或者 gf（有些作者将此记为 fg ）。

以上组成部分若满足如下两条公理，则称为范畴：

• （结合性）如果有 f : A → B， g : B → C 和 h : C → D，则 h·(g·f) = (h·g)·f；
• （等价性）对任意对象 X，存在一个映射 id_X : X → X，称为“X的恒等映射”，使得对任何映射 f : A → B，都有 id_B·f = f = f·id_A。

从以上公理出发可以得到，一个对象的恒等映射是唯一的。有些作者将对象本身用恒等映射来定义，这在本质上是相同的。

如果对象的类确实是个集合，那么这种范畴就被称为“小范畴”。许多重要的范畴不是小范畴。

范畴中的映射有时又称为“箭头”，这种叫法来自于交换图表。

范畴举例

每一范畴都由其对象，映射，和复合映射来表述。为了方便起见，以下的“函数”即是指映射，不再一一说明。

• Set 是所有集合和它们彼此之间所有的函数映射构成的范畴
  • Ord 是所有拟序集和其间的单调函数构成的范畴
  • Mag 是所有广群和其间的同态映射构成的范畴
  • Med 是所有对换广群和其间的同态映射构成的范畴
  • Grp 是所有群和其间的群同态构成的范畴
  • Ab 是所有阿贝尔群和其间的群同态构成的范畴
  • Vect_K 是所有体 K（K固定）上的向量空间和其间的K-线性映射构成的范畴
  • Top 是所有拓扑空间和其间的连续函数构成的范畴
  • Met 是所有测度空间和其间的测地映射构成的范畴
  • Uni 是所有一致空间和其间的一致连续函数构成的范畴
• 任何拟序集 (P, ≤) 构成一个小范畴，其对象是 P 的要素，其映射是从 x 指向 y 的箭头，其中 x ≤ y。
• 任何以单一对象 x （x为任意固定集合）为基础的独异点构成一个小范畴。独异点的任意元素通过二元运算给出一个从 x 到 x 的映射，所有这些映射恰好是范畴的所有映射；范畴的复合映射也正好是独异点的二元运算。事实上，范畴可以看成独异点的推广；关于独异点的定义和定理有一些可以推广到范畴。
• 任何有向图对应于一个小范畴：其对象是图的顶点，其映射是图的路径，其复合映射是路径的连接。称此范畴为有向图的“自由范畴”。
• 设 I 是个集合，“I上的离散范畴”是一个小范畴，以 I 的元素为对象，以 I 的恒等映射为其唯一的映射。
• 任何范畴 C 可以在另一种看法下成为一个新的范畴：它具有相同的对象，然而所有映射都是反方向的。称此为“对偶”或者“反范畴”，记作 C^op （op 来自英文的 oppisite）。
• 设 C 和 D 是范畴，则它们的“直积范畴”C × D 被定义为：其对象为取自 C 的一个对象和取自 D 的一个对象的有序对，其映射亦为取自 C 的一个映射和取自 D 的一个映射的有序对，其复合映射则由其分量分别复合。

映射分类

映射 f : A → B 称为

• 单射，如果 fg₁ = fg₂ ，则有 g₁ = g₂ ，此关系对所有映射 g₁ ， g₂ : X → A 成立。
• 满射，如果 g₁f = g₂f ， 则有 g₁ = g₂ ，此关系对所有映射 g₁ ， g₂ : B → X 成立。
• 同构，如果存在逆映射 g : B → A 使得 fg = id_B 并且 gf = id_A。
• 自同构，如果 f 是同构映射，并且有 A = B 。
• 自同态，如果 A = B 。

映射之间的关系（比如 fg = h ）在大多数情形下可用更直观的交换图表来表示，在此图表中对象被表示成顶点，映射被表示为箭头。

函子

函子是范畴之间保持结构的映射。它们可以被看成以所有（小）范畴为成员的范畴中的映射。

一个从范畴 C 到范畴 D 的（协变）函子 F 被定义为：

• 对 C 中任意对象 X ，都有一个 D 中相应的对象 F(X) 与其对应；
• 对 C 中任意映射 f : X → Y ，都有一个 D 中相应的映射 F(f) : F(X) → F(Y) 与其对应

并使下列性质成立：

• 对 C 中任意的对象 X ，都有 F(id_X) = id_F(X) 。
• 对 C 中任意两个映射 f : X → Y 和 g : Y → Z，都有 F(g · f) = F(g) · F(f) 。

一个从范畴 C 到范畴 D 的反变函子 F 不同于函子的地方仅在于将 D 中的映射箭头倒过来。比如说 f : X → Y 是 C 中任一映射，则有 F(f) : F(Y) → F(X) 。定义反变函子的最简捷的方法是作为 C 的反范畴 C^op 到 D 上的函子。

有关函子的具体例子和性质请详见函子条目。

自然和自然同构

详细请见自然变换条目。

一个“自然变换”是两个函子之间的一个关系。函子通常用来描述“自然构造”，而自然变换则用来描述两个构造之间的“自然同态”。有时候，两个截然不同的构造具有“相同的”结果；这正可以用两个函子之间的自然关系来表述。

定义

如果 F 和 G 是从范畴 C 到范畴 D 的（协变）函子，则从 F 到 G 的一个自然变换对于 C 中的任何对象 X ，都有一个 D 中相应的映射 η_X : F(X) → G(X) ，使得对 C 中的任何映射 f : X → Y ，都有 η_Y · F(f) = G(f) · η_X ；这也就是说下列图表是可交换的：

Diagram defining natural transformations

两个函子 F 和 G 称为“自然同构”，如果存在一从 F 到 G 的自然变换，使得对所有 C 中的对象 X ， η_X 是一个同构。

举例

设 K 是体， V 是 K 上的任意向量空间，则有从向量空间到其二重对偶的一个“自然”内射型线性映射 V → V^** 。这些映射在以下意义上是“自然”的：二重对偶运算是一个函子，这些映射正好构成了从恒等函子到二重对偶函子的自然变换。如果向量空间的维数是有限的，我们就得到一个自然同构；因为“有限向量空间自然同构于其二重对偶”。

考虑阿贝尔群及其同态构成的范畴 Ab 。对任意阿贝尔群 X 、 Y 和 Z ，我们得到群同构

Mor(X, Mor(Y, Z)) → Mor(X$\otimes$Y, Z) 。

这些同构是“自然”的，因为它们定义了两个函子间的一种自然变换： Ab^op × Ab^op × Ab → Ab 。