等价类

在数学中，给定一个集合 X 和在 X 上的一个等价关系 ~，则 X 中的一个元素 a 的等价类是在 X 中等价于 a 的所有元素的子集:

[a] = { x ∈ X | x ~ a }

等价类的概念有助于从已经构造了的集合构造集合。在 X 中的给定等价关系 ~ 的所有等价类的集合表示为 X / ~ 并叫做 X 除以 ~ 的商集。这种运算可以(实际上非常不正式的)被认为是输入集合除以等价关系的活动，所以名字“商”和这种记法都是模仿的除法。商集类似于除法的一个方面是如果 X 是有限的并且等价类都是等势的，则 X/~ 的序是 X 的序除以一个等价类的序的商。商集要被认为是带有所有等价点都识别出来的集合 X。

对于任何等价关系，都有从 X 到 X/~ 的一个规范投影映射 π，给出为 π(x) = [x]。这个映射总是满射的。在 X 有某种额外结构的情况下，考虑保持这个结构的等价关系。接着称这个结构是良好定义的，而商集在自然方式下继承了这个结构而成为同一个范畴的对象；从 a 到 [a] 的映射则是在这个范畴内的满态射。参见同余关系。

例子

• 如果 X 是轿车的集合，而 ~ 是“颜色相同”的等价类，则一个特定等价类由所有绿色轿车组成。X / ~ 自然的被认同于所有轿车颜色的集合。
• 考虑在整数集合 Z 上的“模 2”等价关系: x~y 当且仅当 x-y 是偶数。这个关系精确的引发两个等价类: [0] 由所有偶数组成，[1] 由所有奇数组成。在这个关系下 [7] [9] 和 [1] 都表示 Z / ~ 的同一个元素。
• 有理数可以构造为整数的有序对 (a,b) 的等价类的集合，b 不能为零，这里的等价关系定义为

(a,b) ~ (c,d) 当且仅当 ad = bc。

这里的有序对 (a,b) 的等价类可以被认同于有理数 a/b。

• 任何函数 f : X → Y 定义在 X 上的等价关系，通过 x₁ ~ x₂ 当且仅当 f(x₁) = f(x₂)。x 的等价类是在 X 中被映射到 f(x) 的所有元素的集合，就是说，类 [x] 是f(x) 的逆像。这个等价关系叫做 f 的核。
• 给定群 G 和子群 H，我们可以定义在 G 上的等价关系，通过 x ~ y 当且仅当 xy ^-1 ∈ H。这个等价类叫做 H 在 G 中的右陪集；其中之一是 H 自身。它们都有同样数目的元素(在无限 H 的情况下是势)。如果 H 是正规子群，则所有陪集的集合自身是在自然方式下的一个群。
• 所有群都可以划分成叫做共轭类的等价类。
• 连续映射 f 的同伦类是所有同伦于 f 的所有映射的等价类。
• 在自然语言处理中，等价类是对一个个人、位置、事物或事件的所有提及的要么真实要么虚构的集合。例如，在句子 “"GE 股东将投票公司杰出的 CEO Jack Welch 的继任者”。“GE”和“公司”是同义的，所以构成一个等价类。对“GE 股东”和“Jack Welch”有单独的等价类。

性质

Because of the properties of an equivalence relation it holds that a is in [a] and that any two equivalence classes are either equal or disjoint. It follows that the set of all equivalence classes of X forms a partition of X: every element of X belongs to one and only one equivalence class. Conversely every partition of X also defines an equivalence relation over X.

It also follows from the properties of an equivalence relation that

a ~ b if and only if [a] = [b].

If ~ is an equivalence relation on X, and P(x) is a property of elements of x, such that whenever x ~ y, P(x) is true if P(y) is true, then the property P is said to be well-defined or a class invariant under the relation ~. A frequent particular case occurs when f is a function from X to another set Y; if x₁ ~ x₂ implies f(x₁) = f(x₂) then f is said to be a class invariant under ~, or simply invariant under ~. This occurs, e.g. in the character theory of finite groups. The latter case with the function f can be expressed by a commutative triangle. See also invariant.

参见

• 等价关系