怀特海问题

给定环$\Lambda$上的模 $A,B,R$,投射模$P$ 以及正合列$R\rightarrow P\twoheadrightarrow A$其中第一个箭头由单同态$\mu$实现, 记

$\mathrm {EXT} _{\Lambda }(A,B)=\mathrm {Hom(R,B)} /\mathrm {Im} (\mu ^{*})$,

这里$\mu ^{*}$是由 $\mu$自然导出的从$\mathrm {Hom} (P,B)$到$\mathrm {Hom} (R,B)$的同态. 如果$\Lambda$是整数环$\mathbb {Z}$, 则我们省去下标.注意任何一个阿贝尔群都可以看成一个整数模.

可以证明一个模$A$是投射模当且仅当对于所有的模$B,\mathrm {EXT} _{\Lambda }(A,B)=0$.

每一个自由模都是投射模. 同调代数中一个经典定理说如果$\Lambda$是主理想整环, 那么每一$\Lambda$自由模的子模也是自由的. 特别地, 整数环$\mathbb {Z}$上的所有自由模的子模都是自由的. 因为每一个投射模都是自由模的子模, 所以$\mathbb {Z}$上的投射模和自由模是一致的.

怀特海问题是同调代数中一个基本问题, 其表述如下:

给定阿贝尔群 A, $\mathrm {EXT} (A,\mathbb {Z} )=0$当且仅当 A 是自由的.

因此怀特海问题可以看作$\mathbb {Z}$上自由模的一个判别法则.

在ZFC下可以证明如果A是可数的阿贝尔群,那么怀特海问题是正确的. Shelah于1974年证明了如果 $V=L$, 那么对每一个基数为$\aleph _{1}$的阿贝尔群, 怀特海问题是对的. 同时,如果马丁公理成立并且连续统假设不成立,那么存在一个基数为$\aleph _{1}$的阿贝尔群使得怀特海问题是错的. 最终地, Shelah于1975年证明了如果$V=L$, 那么怀特海问题对于所有阿贝尔群成立.