双射：修订间差异

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2014年3月8日 (六) 10:52的版本

在集合论中，一由集合X至集合Y的函數稱為雙射的，若對每一在Y內的y，存在唯一一個在X內的x与其对应；對每一在X內的x，存在唯一一個在Y內的y与其对应；不存在未配对元素。

換句話說，f為雙射的若其為兩集合間的一對一對應，亦即同時單射且滿射。

例如，由整數集合 $\mathbb {Z}$ 至 $\mathbb {Z}$ 的函數succ，其將每一個整數x連結至整數succ(x)=x+1，及另一函數sumdif，其將每一對實數(x,y)連結至sumdif(x,y) = (x + y, x − y)。

一雙射函數亦稱為置換。後者一般較常使用在X=Y時。以由X至Y的所有雙射組成的集合標記為X ${}\leftrightarrow {}$ Y.

雙射函數在許多數學領域扮演著很基本的角色，如在同構(和如同胚和微分同構等相關概念)、置換群、投影映射及許多其他概念的基本上。

複合函數與反函數

一函數f為雙射的若且唯若其逆關係f⁻¹也是個函數，而且亦為雙射。

兩個雙射函數f $\;:\;$ X ${}\leftrightarrow {}$ Y及g $\;:\;$ Y ${}\leftrightarrow {}$ Z的複合函數g o f亦為雙射函數。其反函數為(g o f)⁻¹ = (f⁻¹) o (g⁻¹)。

另一方面，若g o f為雙射的，則可以說f是單射的且g是滿射的。

一由X至Y的關係f為雙射函數若且唯若存在另一由Y至X的關係g，使得g o f為X上的恆等函數，且f o g為Y上的恆等函數。必然地，此兩個集合會有相同的勢。

雙射與勢

若X和Y為有限集合，則其存在一兩集合的雙射函數若且唯若兩個集合有相同的元素個數。確實，在公理集合論裡，這被當做「相同元素個數」的定義，且廣義化至無限集合，並導致了基數的概念，一用以分辨無限集合的不同大小。

例子與反例

對任一集合X，其恆等函數均為雙射函數。
其定義為f(x) = 2x + 1之由實數R至R的函數f是雙射的，當對任一y，存在一唯一x = (y − 1)/2使得f(x) = y。
指數函數g : R $\rightarrow$ R，其形式為g(x) = e^x，不是雙射的：因為不存在一R內的x使得g(x) = −1，故g非為雙射。但若其陪域改成正實數R⁺ = (0,+∞)，則g便是雙射的了；其反函數為自然對數函數 ln。
函數h : R $\rightarrow$ [0,+∞)，其形式為h(x) = x²，不是雙射的：因為h(−1) = h(+1) = 1，故h非為雙射。但其定義域也改成[0,+∞)，則h便是雙射的了；其反函數為正平方根函數。
$\mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x$ 不是雙射函數，因為−1、0和1都在其定義域裡且都映射至0。
$\mathbf {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x)$ 不是雙射函數，因為π/3和2π/3都在其定義域裡且都映射至 ${\sqrt {3}}/2$ 。

性質

一由實數R至R的函數f是雙射的若且唯若其圖像和任一水平線相交且只相交於一點。
設X為一集合，則由X至其本身的雙射函數，加上其複合函數(^o)的運算，會形成一個群，一個X的對稱群，其標記為S(X)、S_X或X!。
取一定義域的子集A及一陪域的子集B，則

|f(A)| = |A| 且 |f⁻¹(B)| = |B|。

若X和Y為具相同勢的有限集合，且f: X → Y，則下列三種說法是等價的：

f 為一雙射函數。
f 為一滿射函數。
f 為一單射函數。

雙射與範疇論

形式上，雙射函數恰好是集合與函數集合範疇內的同構。

另見

@@ 第27行： / 第27行： @@
 * 對任一集合''X''，其[[恆等函數]]均為雙射函數。
 * 其定義為''f''(''x'') = 2''x'' + 1之由[[實數]]'''R'''至'''R'''的函數''f''是雙射的，當對任一''y''，存在一唯一''x'' = (''y''&nbsp;&minus;&nbsp;1)/2使得''f''(''x'') = ''y''。
-* [[指數函數]]''g''&nbsp;:&nbsp;'''R''' <math>\rightarrow</math> '''R'''，其形式為''g(x)'' = e<sup>''x''</sup>，不是雙射的：因為不存在一''R''內的''x''使得''g''(''x'') = &minus;1，故''g''非為雙射。但若其陪摯改成正實數'''R'''<sup>+</sup> = (0,+∞)，則''g''便是雙射的了；其反函數為[[自然對數]]函數 ln。
+* [[指數函數]]''g''&nbsp;:&nbsp;'''R''' <math>\rightarrow</math> '''R'''，其形式為''g(x)'' = e<sup>''x''</sup>，不是雙射的：因為不存在一''R''內的''x''使得''g''(''x'') = &minus;1，故''g''非為雙射。但若其[[到达域|陪域]]改成正實數'''R'''<sup>+</sup> = (0,+∞)，則''g''便是雙射的了；其反函數為[[自然對數]]函數 ln。
 * 函數''h''&nbsp;:&nbsp;'''R''' <math>\rightarrow</math> [0,+∞)，其形式為''h(x)'' = ''x''²，不是雙射的：因為''h''(&minus;1) = ''h''(+1) = 1，故''h''非為雙射。但其定義域也改成<nowiki>[0,+∞)</nowiki>，則''h''便是雙射的了；其反函數為正平方根函數。
 * <math>\mathbf{R} \to \mathbf{R} : x \mapsto (x-1)x(x+1) = x^3 - x </math>不是雙射函數，因為&minus;1、0和1都在其定義域裡且都映射至0。