介值定理：修订间差异

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2014年6月19日 (四) 07:34的版本

在數學中，介值定理的陳述是：

假設 $I=[a,b]$ 是一個實數裡的闭区间，而 $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ 是連續函數，那麼其像集 $f(I)$ 也是區間。它或者包含 $[f(a),f(b)]$ （如果 $f(a)\leq f(b)$ ），或者包含 $[f(b),f(a)]$ （如果 $f(b)\leq f(a)$ ）。換言之：

$\displaystyle f(I)\supseteq [f(a),f(b)]$ ,

或

$\displaystyle f(I)\supseteq [f(b),f(a)]$ .

介值定理通常以下述等價的形式表述：假設 $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ 是連續函數，且實數 $u$ 滿足 $f(a)<u<f(b)$ 或 $f(a)>u>f(b)$ ，則存在 $c\in (a,b)$ 使得 $f(c)=u$ 。

直觀地比喻，這代表可以在紙上畫出一個連續函數 $f:I\rightarrow \mathbb {R}$ 的圖形，而不讓筆離開紙面。

介值定理首先由伯纳德·波尔查诺提出和证明，但是他的证明现在看来不是十分严格。

证明

我们证明第一种情况 $f(a)<u<f(b)$ ；第二种情况也类似。

设 $S$ 为 $[a,b]$ 内所有 $x$ 的集合，使得 $f(x)\leqslant u$ 。那么 $S$ 是非空的，因为 $a$ 是 $S$ 的一个元素，且 $S$ 是上有界的，其上界为 $b$ 。于是，根据实数的完备性，最小上界 $c=supS$ 一定存在。我们来证明 $f(c)=u$ 。

假设 $f(c)>u$ 。那么 $f(c)-u>0$ ，因此存在 $\delta >0$ ，使得当 $\left|x-c\right|<\delta$ 时，就有 $\left|f(x)-f(c)\right|<f(c)-u$ ，因为 $f$ 是连续函数。但是，这样一来，当 $\left|x-c\right|<\delta$ 时，就有 $f(x)>f(c)-(f(c)-u)=u$ （也就是说，对于 $(c-\delta ,c+\delta )$ 内的 $x$ ，都有 $f(x)>u$ ）。因此 $c-\delta$ 是 $S$ 的一个上界，与我们假设 $c$ 是最小上界以及 $c-\delta <c$ 矛盾。

假设 $f(c)<u$ 。根据连续性，存在一个 $\delta >0$ ，使得当 $\left|x-c\right|<\delta$ 时，就有 $\left|f(x)-f(c)\right|<u-f(c)$ 。那么对于 $(c-\delta ,c+\delta )$ 内的 $x$ ，都有 $f(x)<f(c)+(u-f(c))=u$ ，因此存在大于 $c$ 的 $x$ ，使得 $f(x)<u$ ，这与 $c$ 的定义矛盾。

因此 $f(c)=u$ 。

此定理仰賴於實數完備性，它對有理數不成立。例如函數 $f(x)=x^{2}-2$ 滿足 $f(0)=-2,f(2)=2$ ，但不存在滿足 $f(x)=0$ 的有理數 $x$ 。

零点定理

零点定理是介值定理的一种特殊情况。设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)\cdot f(b)<0$ ，则必存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f(\xi )=0$ 成立。由於零点定理可用來找一方程式的根，也稱為勘根定理。

现实世界中的意义

介值定理意味着在地球的任何大圆上，温度、压强、海拔、二氧化碳的浓度（或其他任何连续变化的变量），总存在两个对蹠点，在这两个点上该变量的值是相同的。

证明：取f为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线，与圆相交于点A和点B。设d为f(A) − f(B)的差。如果把这条直线旋转180度，将得到值−d。根据介值定理，一定存在某个旋转角，使得d = 0，在这个角度上便有f(A) = f(B)。

这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理的特殊情况。

参考文献

外部链接

参见

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 我们证明第一种情况<math>f(a)<u<f(b)</math>；第二种情况也类似。<math></math>
-设<math>S</math>为<math>[a,b]</math>内所有<math>x</math>的集合，使得<math>f(x) \leqslant u</math>。那么<math>S</math>是非空的，因为<math>a</math>是<math>S</math>的一个元素，且<math>S</math>是上有界的，其上界为<math>b</math>。于是，根据实数的[[完备空间|完备性]]，[[最小上界]]<math>c=sup S</math>一定存在。我们来证明<math>f(c)=u</math>。
+设 <math>S</math> 为 <math>[a,b]</math> 内所有 <math>x</math> 的集合，使得 <math>f(x) \leqslant u</math> 。那么 <math>S</math> 是非空的，因为 <math>a</math> 是 <math>S</math> 的一个元素，且 <math>S</math> 是上有界的，其上界为 <math>b</math> 。于是，根据实数的[[完备空间|完备性]]，[[最小上界]]<math>c=sup S</math>一定存在。我们来证明<math>f(c)=u</math>。
-* 假设<math>f(c)>u</math>。那么<math>f(c)-u>0</math>，因此存在<math> \delta >0</math>，使得当<math>\left| x-c \right|< \delta</math>时，就有|''f''(''x'') &minus; ''f''(''c'')| < ''f''(''c'') &minus; ''u''，因为''f''是连续函数。但是，这样一来，当|''x'' &minus; ''c''| < ''&delta;''时，就有''f''(''x'') > ''f''(''c'') &minus; (''f''(''c'') &minus; ''u'') = ''u''（也就是说，对于(''c'' &minus; ''&delta;'', ''c'' + &delta;)内的''x''，都有''f''(''x'') > ''u''）。因此''c'' &minus; ''&delta;''是''S''的一个上界，与我们假设''c''是最小上界以及''c'' &minus; ''&delta;'' < ''c''矛盾。
+* 假设<math>f(c)>u</math>。那么<math>f(c)-u>0</math>，因此存在<math> \delta >0</math>，使得当<math>\left| x-c \right|< \delta</math>时，就有<math>\left| f(x)-f(c) \right|< f(c)-u</math> ，因为 <math>f</math> 是连续函数。但是，这样一来，当<math>\left| x-c \right|< \delta</math>时，就有<math>f(x)>f(c)-(f(c)-u)=u</math>（也就是说，对于<math>(c- \delta ,c+ \delta )</math> 内的 <math>x</math> ，都有 <math>f(x)>u</math> ）。因此 <math>c- \delta</math> 是 <math>S</math> 的一个上界，与我们假设 <math>c</math> 是最小上界以及 <math>c- \delta <c</math> 矛盾。
-* 假设''f''(''c'') < ''u''。根据连续性，存在一个''&delta;'' > 0，使得当|''x'' &minus; ''c''| < ''&delta;''时，就有|''f''(''x'') &minus; ''f''(''c'')| < ''u'' &minus; ''f''(''c'')。那么对于(''c'' &minus; ''&delta;'', ''c'' + &delta;)内的''x''，都有''f''(''x'') < ''f''(''c'') + (''u'' &minus; ''f''(''c'')) = ''u''，因此存在大于''c''的''x''，使得''f''(''x'') < ''u''，这与''c''的定义矛盾。
+* 假设<math>f(c)<u</math>。根据连续性，存在一个<math> \delta >0</math>，使得当<math>\left| x-c \right|< \delta</math>时，就有<math>\left| f(x)-f(c) \right|< u-f(c)</math>。那么对于<math>(c- \delta ,c+ \delta )</math> 内的 <math>x</math> ，都有<math>f(x)<f(c)+(u-f(c))=u</math>，因此存在大于 <math>c</math> 的 <math>x</math> ，使得<math>f(x)<u</math>，这与 <math>c</math> 的定义矛盾。
-因此''f''(''c'') = ''u''。
+因此<math>f(c)=u</math>。
 此定理仰賴於[[實數]]完備性，它對[[有理數]]不成立。例如函數 <math>f(x) = x^2 - 2</math> 滿足 <math>f(0)=-2, f(2)=2</math>，但不存在滿足 <math>f(x)=0</math> 的有理數 <math>x</math>。