满射：修订间差异

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2014年8月22日 (五) 12:13的版本

满射，或者满射函数，在数学上为一个具有这样一个性质的函数，即当输入域涵盖了所有定义域上的值时，函数的所有可能的输出值都已经被产生。

更加形式化地，一个函数 $f:X\rightarrow Y$ 为满射，当，对于任意的陪域 $Y$ 中的 $y$ ，在函数的定义域 $X$ 中存在至少一个 $x$ 满足 $f(x)=y$ 。换句话说， $f$ 是满射当它的值域 $f(X)$ 与陪域 $Y$ 相等，或者，等价地，如果每一个陪域中的元素都有一个原像。

例子和反例

函数 $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ，定义为 $g(x)=x^{2}$ ，不是一个满射，因为，（舉例）不存在一个实数满足 $x^{2}=-1$ 。

但是，如果把 $g$ 的陪域限制到只有非负实数，则函数 $g$ 为满射。这是因为，给定一个任意的非负实数 $y$ ，我们能对 $y=x^{2}$ 求解，得到 $x=\pm {\sqrt {y}}$ 。

雙射（單射與滿射）	單射但非滿射
滿射但非单射	非滿射非單射

性质

函数 $f:X\rightarrow Y$ 为一个满射，当且仅当存在一个函数 $g:Y\rightarrow X$ 满足 $f\circ g$ 等于 $Y$ 上的单位函数。（这个陈述等價于选择公理。）
根据定义，函数为双射当且仅当它既是满射也是单射。
如果 $f\circ g$ 是满射，则 $f$ 是满射。
如果 $f$ 和 $g$ 皆为满射，则 $f\circ g$ 为满射。
$f:X\rightarrow Y$ 为满射，当且仅当给定任意函数 $g,h:Y\rightarrow Z$ 满足 $g\circ f=h\circ f$ ，则 $g=h$ 。
如果 $f:X\rightarrow Y$ 为满射，且 $B$ 是 $Y$ 的子集，则， $f(f^{-1}(B))=B$ 。因此， $B$ 能被其原像复原。
任意函数 $h:X\rightarrow Y$ 都可以分解为一个适当的满射 $f$ 和单射 $g$ ，使得 $h=g\circ f$ 。
如果 $f:X\rightarrow Y$ 为满射函数，则 $X$ 在基数意义上至少有跟 $Y$ 一样多的元素。
如果 $X$ 和 $Y$ 皆为具有相同元素数的有限集合，则 $f:X\rightarrow Y$ 是满射当且仅当 $f$ 是单射。

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 '''满射'''，或者'''满射函数'''，在[[数学]]上为一个具有这样一个性质的[[函数]]，即当输入域涵盖了所有定义域上的值时，函数的''所有可能的输出值''都已经被产生。
-更加形式化地，一个函数<math>f:X\rightarrow Y</math>为满射，当，对于任意的[[陪域]]<math>Y</math>中的<math>y</math>，在函数的定义域<math>X</math>中存在至少一个<math>x</math>满足<math>f(x)=y</math>。换句话说，<math>f</math>是满射当它的值域<math>f(X)</math>与陪域<math>Y</math>相等，或者，等价地，如果每一个陪域中的元素都有一个[[函数#像和原象|原像]]。
+更加形式化地，一个函数<math>f:X\rightarrow Y</math>为满射，当，对于任意的[[陪域]]<math>Y</math>中的<math>y</math>，在函数的定义域<math>X</math>中存在至少一个<math>x</math>满足<math>f(x)=y</math>。换句话说，<math>f</math>是满射当它的值域<math>f(X)</math>与陪域<math>Y</math>相等，或者，等价地，如果每一个陪域中的元素都有一个[[原像]]。
 == 例子和反例 ==
-函数<math>g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}</math>定义为<math>g(x)=x^2</math>不是一个满射，因为，例如不存在一个[[实数]]满足<math>x^2=-1</math>。
+函数<math>g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}</math>，定义为<math>g(x)=x^2</math>，不是一个满射，因为，（舉例）不存在一个[[实数]]满足<math>x^2=-1</math>。
-但是，如果函数<math>g:\mathbb{R}\rightarrow [0,\infty)</math>，<math>g</math>的定义式同前，这里的陪域限制到只有非负实数，则函数<math>g</math>为满射。这是因为，给定一个任意的非负实数<math>y</math>，我们能对<math>y=x^2</math>求解，得到<math>x=\pm \sqrt{y}</math>。
+但是，如果把<math>g</math>的陪域限制到只有非负实数，则函数<math>g</math>为满射。这是因为，给定一个任意的非负实数<math>y</math>，我们能对<math>y=x^2</math>求解，得到<math>x=\pm \sqrt{y}</math>。
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 == 性质 ==
-* 函数<math>f:X\rightarrow Y</math>为一个满射，当且仅当存在一个函数<math>g:Y\rightarrow X</math>满足<math>f\circ g</math>等于<math>Y</math>上的[[单位函数]]。（这个陈述等同于[[选择公理]]。）
+* 函数<math>f:X\rightarrow Y</math>为一个满射，当且仅当存在一个函数<math>g:Y\rightarrow X</math>满足<math>f\circ g</math>等于<math>Y</math>上的[[单位函数]]。（这个陈述等價于[[选择公理]]。）
-* 根据定义， 函数为[[双射]]当且仅当它既是满射也是[[单射]]。
+* 根据定义，函数为[[双射]]当且仅当它既是满射也是[[单射]]。
 * 如果<math>f\circ g</math> 是满射，则<math>f</math>是满射。
 * 如果<math>f</math>和<math>g</math>皆为满射，则<math>f\circ g</math>为满射。
 * <math>f:X\rightarrow Y</math>为满射，当且仅当给定任意函数<math>g,h:Y\rightarrow Z</math>满足<math>g\circ f=h\circ f</math>，则<math>g=h</math>。
 * 如果<math>f:X\rightarrow Y</math>为满射，且<math>B</math>是<math>Y</math>的[[子集]]，则，<math>f(f^{-1}(B))=B</math>。因此，<math>B</math>能被其原像复原。
-* 任意函数<math>h:X\rightarrow Y</math>能被一个适当的满射<math>f</math>和单射<math>g</math>分解为<math>h=g\circ f</math>。
+* 任意函数<math>h:X\rightarrow Y</math>都可以分解为一个适当的满射<math>f</math>和单射<math>g</math>，使得<math>h=g\circ f</math>。
 * 如果<math>f:X\rightarrow Y</math>为满射函数，则<math>X</math>在[[基数]]意义上至少有跟<math>Y</math>一样多的元素。
 * 如果<math>X</math>和<math>Y</math>皆为具有相同元素-{}-数的[[有限集合]]，则<math>f:X\rightarrow Y</math>是满射当且仅当<math>f</math>是[[单射]]。
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 * [[双射]]
-[[Category:函数]]
+[[Category:函数|M]]
-[[Category:集合論基本概念]]
+[[Category:集合論基本概念|M]]

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例子和反例

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