介值定理

在数学分析中，介值定理（intermediate value theorem）描述了連續函數在兩點之間的連續性：

如果連續函數 $f(x)$ 通過 $(a,f(a))$ 與 $(b,f(b))$ 兩點，它也必定通過 $[a,b]$ 區間內的任一點 $(c,f(c)),a<c<b$。

直觀地比喻，這代表在 $[a,b]$ 區間上可以畫出一個連續曲線，而不讓筆離開紙面。如果這個連續函數是光滑曲線，其任二點間的光滑性可由均值定理來描述。

介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明，在這個證明中，他附帶證明了波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理。

介值定理圖解

定理

假設 $I=[a,b]$ 是一個實數裡的闭区间，而 $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ 是連續函數，那麼其像集 $f(I)$ 也是區間。它或者包含 $[f(a),f(b)]$（如果 $f(a)\leq f(b)$），或者包含 $[f(b),f(a)]$（如果 $f(b)\leq f(a)$）。換言之：

• $\displaystyle f(I)\supseteq [f(a),f(b)]$,

或

• $\displaystyle f(I)\supseteq [f(b),f(a)]$.

介值定理通常以下述等價的形式表述：假設$f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ 是連續函數，且實數 $u$ 滿足 $f(a)<u<f(b)$ 或 $f(a)>u>f(b)$，則存在 $c\in (a,b)$ 使得 $f(c)=u$。

证明

我们证明第一种情况$f(a)<u<f(b)$；第二种情况也类似。${\displaystyle }$

设 $S$ 为 $[a,b]$ 内所有 $x$ 的集合，使得 $f(x)\leqslant u$ 。那么 $S$ 是非空的，因为 $a$ 是 $S$ 的一个元素，且 $S$ 是上有界的，其上界为 $b$ 。于是，根据实数的完备性，最小上界$c=\mathrm {sup}$ $S$一定存在。我们来证明$f(c)=u$。

• 假设$f(c)>u$。那么$f(c)-u>0$，因此存在$\delta >0$，使得当$\left|x-c\right|<\delta$时，就有$\left|f(x)-f(c)\right|<f(c)-u$ ，因为 $f$ 是连续函数。但是，这样一来，当$\left|x-c\right|<\delta$时，就有$f(x)>f(c)-(f(c)-u)=u$（也就是说，对于$(c-\delta ,c+\delta )$ 内的 $x$ ，都有 $f(x)>u$ ）。因此 $c-\delta$ 是 $S$ 的一个上界，与我们假设 $c$ 是最小上界以及 $c-\delta <c$ 矛盾。

• 假设$f(c)<u$。根据连续性，存在一个$\delta >0$，使得当$\left|x-c\right|<\delta$时，就有$\left|f(x)-f(c)\right|<u-f(c)$。那么对于$(c-\delta ,c+\delta )$ 内的 $x$ ，都有$f(x)<f(c)+(u-f(c))=u$，因此存在大于 $c$ 的 $x$ ，使得$f(x)<u$，这与 $c$ 的定义矛盾。

因此$f(c)=u$。

與實數完備性的關係

此定理仰賴於實數完備性，它對有理數不成立。例如函數 $f(x)=x^{2}-2$ 滿足 $f(0)=-2,f(2)=2$，但不存在滿足 $f(x)=0$ 的有理數 $x$。

零点定理（波尔查诺定理）

零点定理是介值定理的一种特殊情况－如果曲線上兩點的值正負號相反，其間必定存在一個根：

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)\cdot f(b)<0$，则必存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f(\xi )=0$ 成立。

由於零点定理可用來找一方程式的根，也稱為勘根定理。伯纳德·波尔查诺於1817年證明了這個定理，同時證明了這個定理的一般情況（即介值定理）。以現代的標準來說，他的證明並不算是非常嚴格。

现实世界中的意义

介值定理意味着在地球的任何大圆上，温度、压强、海拔、二氧化碳的浓度（或其他任何连续变化的变量），总存在两个对蹠点，在这两个点上该变量的值是相同的。

证明：取f为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线，与圆相交于点A和点B。设d为f(A) − f(B)的差。如果把这条直线旋转180度，将得到值−d。根据介值定理，一定存在某个旋转角，使得d = 0，在这个角度上便有f(A) = f(B)。

这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理的特殊情况。

外部链接

• cut-the-knot上的介值定理-波尔查诺定理

参见

• 中值定理
• 极值定理