反三角函数

在数学中，反三角函数是三角函数的反函数。

數學符號

符号 $\sin ^{-1},\cos ^{-1}$ 等常用于 $\arcsin ,\arccos$ 等。但是这种符号有时在 $\arcsin x$ 和 ${\frac {1}{\sin x}}$ 之间造成混淆。

在笛卡尔平面上 f(x) = arcsin(x) 和 f(x) = arccos(x) 函数的常用主值的图像。

在笛卡尔平面上 f(x) = arctan(x) 和 f(x) = arccot(x) 函数的常用主值的图像。

在编程中，函数 arcsin, arccos, arctan 通常叫做 asin, acos, atan。很多编程语言提供两自变量 atan2 函数，它计算给定 y 和 x 的 y/x 的反正切，但是值域为 $[-\pi ,\pi ]$ 。

主值

下表列出基本的反三角函数。

名称	常用符号	定义	定义域	值域
反正弦	$y=\arcsin x$	$x=\sin y$	$[-1,1]$	$[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$
反余弦	$y=\arccos x$	$x=\cos y$	$[-1,1]$	$[0,\pi ]$
反正切	$y=\arctan x$	$x=\tan y$	$\mathbb {R}$	$(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})$
反余切	$y=\operatorname {arccot} x$	$x=\cot y$	$\mathbb {R}$	$(0,\pi )$
反正割	$y=\operatorname {arcsec} x$	$x=\sec y$	$(-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )$	$[0,{\frac {\pi }{2}})\cup ({\frac {\pi }{2}},\pi ]$
反余割	$y=\operatorname {arccsc} x$	$x=\csc y$	$(-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )$	$[-{\frac {\pi }{2}},0)\cup (0,{\frac {\pi }{2}}]$

如果 $x$ 允许是复数，则 $y$ 的值域只适用它的实部。

反三角函数之间的关系

补角:

$\arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x$

$\operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x$

$\operatorname {arccsc} x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec} x$

负数参数:

$\arcsin(-x)=-\arcsin x\!$

$\arccos(-x)=\pi -\arccos x\!$

$\arctan(-x)=-\arctan x\!$

$\operatorname {arccot}(-x)=\pi -\operatorname {arccot} x\!$

$\operatorname {arcsec}(-x)=\pi -\operatorname {arcsec} x\!$

$\operatorname {arccsc}(-x)=-\operatorname {arccsc} x\!$

倒数参数:

$\arccos {\frac {1}{x}}\,=\operatorname {arcsec} x$

$\arcsin {\frac {1}{x}}\,=\operatorname {arccsc} x$

$\arctan {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\arctan x=\operatorname {arccot} x,\$ 如果 $\ x>0$

$\arctan {\frac {1}{x}}=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan x=-\pi +\operatorname {arccot} x,\$ 如果 $\ x<0$

$\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\arctan x,\$ 如果 $\ x>0$

$\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\pi +\arctan x,\$ 如果 $\ x<0$

$\operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}=\arccos x$

$\operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}=\arcsin x$

如果有一段正弦表:

$\arccos x=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},$ 如果 $\ 0\leq x\leq 1$

$\arctan x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}$

注意只要在使用了复数的平方根的时候，我们选择正实部的平方根(或者正虚部，如果是负实数的平方根的话)。

从半角公式 $\tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}$，可得到:

$\arcsin x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

$\arccos x=2\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}},$ 如果 $-1<x\leq +1$

$\arctan x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

三角函數與反三角函數的關係

通過定義可知：

$\theta$	$\sin \theta$	$\cos \theta$	$\tan \theta$	圖示
$\arcsin x$	$\sin(\arcsin x)=x$	$\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\tan(\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos x$	$\sin(\arccos x)={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\cos(\arccos x)=x$	$\tan(\arccos x)={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$
$\arctan x$	$\sin(\arctan x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\arctan x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\arctan x)=x$
$\operatorname {arccot} x$	$\sin(\operatorname {arccot} x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\operatorname {arccot} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\operatorname {arccot} x)={\frac {1}{x}}$
$\operatorname {arcsec} x$	$\sin(\operatorname {arcsec} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\cos(\operatorname {arcsec} x)={\frac {1}{x}}$	$\tan(\operatorname {arcsec} x)={\sqrt {x^{2}-1}}$
$\operatorname {arccsc} x$	$\sin(\operatorname {arccsc} x)={\frac {1}{x}}$	$\cos(\operatorname {arccsc} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\tan(\operatorname {arccsc} x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$

一般解

每个三角函数都周期于它的参数的实部上，在每个 2π 区间内通过它的所有值两次。正弦和余割的周期开始于 2πk - π/2 结束于 2πk + π/2(这里的 k 是一个整数)，在 2πk + π/2 到 2πk + 3π/2 上倒过来。余弦和正割的周期开始于 2πk 结束于 2πk + π，在 2πk + π 到 2πk + 2π 上倒过来。正切的周期开始于 2πk - π/2 结束于 2πk + π/2，接着(向前)在 2πk + π/2 到 2πk + 3π/2 上重复。余切的周期开始于 2πk 结束于 2πk + π，接着(向前)在 2πk + π 到 2πk + 2π 上重复。

这个周期性反应在一般反函数上:

$\sin y=x\ \Leftrightarrow \ (\ y=\arcsin x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ \lor \ y=\pi -\arcsin x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ )$

$\cos y=x\ \Leftrightarrow \ (\ y=\arccos x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ \lor \ y=2\pi -\arccos x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ )$

$\tan y=x\ \Leftrightarrow \ \ y=\arctan x+k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z}$

$\cot y=x\ \Leftrightarrow \ \ y=\operatorname {arccot} x+k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z}$

$\sec y=x\ \Leftrightarrow \ (\ y=\operatorname {arcsec} x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ \lor \ y=2\pi -\operatorname {arcsec} x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ )$

$\csc y=x\ \Leftrightarrow \ (\ y=\operatorname {arccsc} x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ \lor \ y=\pi -\operatorname {arccsc} x+2k\pi {\text{ }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ )$

反三角函数的导数

对于实数 $x$ 的反三角函數的导数如下:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\arcsin x&{}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}};\qquad |x|<1\\{\frac {d}{dx}}\arccos x&{}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}};\qquad |x|<1\\{\frac {d}{dx}}\arctan x&{}={\frac {1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x&{}={\frac {-1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\\\end{aligned}}$

舉例說明，设 $\theta =\arcsin x\!$，得到:

${\frac {d\arcsin x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sin \theta }}={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上$|x|<1$，其他導數公式同理可證。

表达为定积分

积分其导数并固定在一点上的值给出反三角函数作为定积分的表达式:

${\begin{aligned}\arcsin x&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1\\\arccos x&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1\\\arctan x&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz,\\\operatorname {arccot} x&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz,\\\operatorname {arcsec} x&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\geq 1\\\operatorname {arccsc} x&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\geq 1\end{aligned}}$

当 x 等于 1 时，在有极限的域上的积分是瑕积分，但仍是良好定义的。

无穷级数

如同正弦和余弦函数，反三角函数可以使用无穷级数计算如下:

${\begin{aligned}\arcsin z&{}=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\arccos z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\arctan z&{}=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arccot} z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arctan z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{-1}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arccsc} z&{}=\arcsin \left(z^{-1}\right)\\&{}=z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{2n+1}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}$

欧拉发现了反正切的更有效的级数:

$\arctan x={\frac {x}{1+x^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kx^{2}}{(2k+1)(1+x^{2})}}.$

(注意对 n= 0 在和中的项是空积 1。)

反三角函数的不定积分

${\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arctan x\,dx&{}=x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccot} x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc} x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}$

使用分部积分法和上面的简单导数很容易得出它们。

舉例

使用$\int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u$，設

${\begin{aligned}u&{}=&\arcsin x&\quad \quad \mathrm {d} v=\mathrm {d} x\\\mathrm {d} u&{}=&{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}&\quad \quad {}v=x\end{aligned}}$

則

$\int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin x-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x$

換元

$k=1-x^{2}.\,$

則

$\mathrm {d} k=-2x\,\mathrm {d} x$

且

$\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2}}\int {\frac {\mathrm {d} k}{\sqrt {k}}}=-{\sqrt {k}}$

換元回 x 得到

$\int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

加法公式和減法公式

arcsin x + arcsin y

$\arcsin x+\arcsin y=\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),{\text{ when }}xy\leq 0,{\text{ or }}x^{2}+y^{2}\leq 1$

$\arcsin x+\arcsin y=\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),{\text{ when }}x>0{\text{ and }}y>0{\text{ and }}x^{2}+y^{2}>1$

$\arcsin x+\arcsin y=-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),{\text{ when }}x<0{\text{ and }}y<0{\text{ and }}x^{2}+y^{2}>1$

arcsin x - arcsin y

$\arcsin x-\arcsin y=\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),{\text{ when }}xy\geq 0,{\text{ or }}x^{2}+y^{2}\leq 1$

$\arcsin x-\arcsin y=\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),{\text{ when }}x>0{\text{ and }}y<0{\text{ and }}x^{2}+y^{2}>1$

$\arcsin x-\arcsin y=-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),{\text{ when }}x<0{\text{ and }}y>0{\text{ and }}x^{2}+y^{2}>1$

arccos x + arccos y

$\arccos x+\arccos y=\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),x+y\geq 0$

$\arccos x+\arccos y=2\pi -\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),x+y<0$

arccos x - arccos y

$\arccos x-\arccos y=-\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),x\geq y$

$\arccos x-\arccos y=\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),x<y$

arctan x + arctan y

$\arctan \,x+\arctan \,y=\arctan \,{\frac {x+y}{1-xy}},xy<1$

$\arctan \,x+\arctan \,y=\pi +\arctan \,{\frac {x+y}{1-xy}},x>0,xy>1$

$\arctan \,x+\arctan \,y=-\pi +\arctan \,{\frac {x+y}{1-xy}},x<0,xy>1$

arctan x - arctan y

$\arctan x-\arctan y=\arctan {\frac {x-y}{1+xy}},xy>-1$

$\arctan x-\arctan y=\pi +\arctan {\frac {x-y}{1+xy}},x>0,xy<-1$

$\arctan x-\arctan y=-\pi +\arctan {\frac {x-y}{1+xy}},x<0,xy<-1$

arccot x + arccot y

$\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} y=\operatorname {arccot} {\frac {xy-1}{x+y}},x>-y$

$\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} y=\operatorname {arccot} {\frac {xy-1}{x+y}}+\pi ,x<-y$

arcsin x + arccos x

$\arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}},|x|\leq 1$

arctan x + arccot x

$\arctan x+\operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}$

参见

• 三角函数
• 正切半角公式
• 三角恒等式
• 平方根

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Inverse Trigonometric Functions. MathWorld. 
• http://mathworld.wolfram.com/InverseTangent.html