反三角函数：修订间差异

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2015年2月17日 (二) 03:52的版本

在数学中，反三角函数是三角函数的反函数。

數學符號

符号 $\sin ^{-1},\cos ^{-1}$ 等常用于 $\arcsin ,\arccos$ 等。但是这种符号有时在 $\arcsin x$ 和 ${\frac {1}{\sin x}}$ 之间造成混淆。

在编程中，函数arcsin, arccos, arctan通常叫做asin, acos, atan。很多编程语言提供两自变量atan2函数，它计算给定y和x的y/x的反正切，但是值域为 $[-\pi ,\pi ]$ 。

主值

下表列出基本的反三角函数。

名称	常用符号	定义	定义域	值域
反正弦	$y=\arcsin x$	$x=\sin y$	$[-1,1]$	$[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$
反余弦	$y=\arccos x$	$x=\cos y$	$[-1,1]$	$[0,\pi ]$
反正切	$y=\arctan x$	$x=\tan y$	$\mathbb {R}$	$(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})$
反余切	$y=\operatorname {arccot} x$	$x=\cot y$	$\mathbb {R}$	$(0,\pi )$
反正割	$y=\operatorname {arcsec} x$	$x=\sec y$	$(-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )$	$[0,{\frac {\pi }{2}})\cup ({\frac {\pi }{2}},\pi ]$
反余割	$y=\operatorname {arccsc} x$	$x=\csc y$	$(-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )$	$[-{\frac {\pi }{2}},0)\cup (0,{\frac {\pi }{2}}]$

如果 $x$ 允许是复数，则 $y$ 的值域只适用它的实部。

反三角函数之间的关系

补角：

\arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x

\operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x

\operatorname {arccsc} x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec} x

负数参数：

\arcsin(-x)=-\arcsin x\!

\arccos(-x)=\pi -\arccos x\!

\arctan(-x)=-\arctan x\!

\operatorname {arccot}(-x)=\pi -\operatorname {arccot} x\!

\operatorname {arcsec}(-x)=\pi -\operatorname {arcsec} x\!

\operatorname {arccsc}(-x)=-\operatorname {arccsc} x\!

倒数参数：

\arccos {\frac {1}{x}}\,=\operatorname {arcsec} x

\arcsin {\frac {1}{x}}\,=\operatorname {arccsc} x

\arctan {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\arctan x=\operatorname {arccot} x,\

如果

\ x>0

\arctan {\frac {1}{x}}=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan x=-\pi +\operatorname {arccot} x,\

如果

\ x<0

\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\arctan x,\

如果

\ x>0

\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\pi +\arctan x,\

如果

\ x<0

\operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}=\arccos x

\operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}=\arcsin x

如果有一段正弦表：

\arccos x=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},

如果

\ 0\leq x\leq 1

\arctan x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}

注意只要在使用了复数的平方根的时候，我们选择正实部的平方根(或者正虚部，如果是负实数的平方根的话)。

从半角公式 $\tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}$ ，可得到：

\arcsin x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}

\arccos x=2\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}},

如果

-1<x\leq +1

\arctan x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}

三角函數與反三角函數的關係

通過定義可知：

$\theta$	$\sin \theta$	$\cos \theta$	$\tan \theta$
$\arcsin x$	$\sin(\arcsin x)=x$	$\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\tan(\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos x$	$\sin(\arccos x)={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\cos(\arccos x)=x$	$\tan(\arccos x)={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$
$\arctan x$	$\sin(\arctan x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\arctan x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\arctan x)=x$
$\operatorname {arccot} x$	$\sin(\operatorname {arccot} x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\operatorname {arccot} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\operatorname {arccot} x)={\frac {1}{x}}$
$\operatorname {arcsec} x$	$\sin(\operatorname {arcsec} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\cos(\operatorname {arcsec} x)={\frac {1}{x}}$	$\tan(\operatorname {arcsec} x)={\sqrt {x^{2}-1}}$
$\operatorname {arccsc} x$	$\sin(\operatorname {arccsc} x)={\frac {1}{x}}$	$\cos(\operatorname {arccsc} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\tan(\operatorname {arccsc} x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$

一般解

每个三角函数都周期于它的参数的实部上，在每个2π区间内通过它的所有值两次。正弦和余割的周期开始于2πk - π/2结束于2πk + π/2（这里的k是一个整数），在2πk + π/2到2πk + 3π/2上倒过来。余弦和正割的周期开始于2πk结束于2πk + π，在2πk + π到2πk + 2π上倒过来。正切的周期开始于2πk - π/2结束于2πk + π/2，接着(向前)在2πk + π/2到2πk + 3π/2上重复。余切的周期开始于2πk结束于2πk + π，接着（向前）在2πk + π到2πk + 2π上重复。

这个周期性反应在一般反函数上：

\sin y=x\ \Leftrightarrow \ (\ y=\arcsin x+2k\pi {\text{  }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ \lor \ y=\pi -\arcsin x+2k\pi {\text{  }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ )

\cos y=x\ \Leftrightarrow \ (\ y=\arccos x+2k\pi {\text{  }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ \lor \ y=2\pi -\arccos x+2k\pi {\text{  }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ )

\tan y=x\ \Leftrightarrow \ \ y=\arctan x+k\pi {\text{  }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z}

\cot y=x\ \Leftrightarrow \ \ y=\operatorname {arccot} x+k\pi {\text{  }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z}

\sec y=x\ \Leftrightarrow \ (\ y=\operatorname {arcsec} x+2k\pi {\text{  }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ \lor \ y=2\pi -\operatorname {arcsec} x+2k\pi {\text{  }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ )

\csc y=x\ \Leftrightarrow \ (\ y=\operatorname {arccsc} x+2k\pi {\text{  }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ \lor \ y=\pi -\operatorname {arccsc} x+2k\pi {\text{  }}\forall {\text{ }}k\in \mathbb {Z} \ )

反三角函数的导数

对于实数 $x$ 的反三角函數的导数如下：

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\arcsin x&{}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}};\qquad |x|<1\\{\frac {d}{dx}}\arccos x&{}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}};\qquad |x|<1\\{\frac {d}{dx}}\arctan x&{}={\frac {1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x&{}={\frac {-1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\\\end{aligned}}

舉例說明，设 $\theta =\arcsin x\!$ ，得到：

{\frac {d\arcsin x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sin \theta }}={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}

因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上 $|x|<1$ ，其他導數公式同理可證^[1]。

表达为定积分

积分其导数并固定在一点上的值给出反三角函数作为定积分的表达式：

{\begin{aligned}\arcsin x&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1\\\arccos x&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1\\\arctan x&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz,\\\operatorname {arccot} x&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz,\\\operatorname {arcsec} x&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\geq 1\\\operatorname {arccsc} x&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz,\qquad x\geq 1\end{aligned}}

当x等于1时，在有极限的域上的积分是瑕积分，但仍是良好定义的。

无穷级数

如同正弦和余弦函数，反三角函数可以使用无穷级数计算如下：

{\begin{aligned}\arcsin z&{}=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}

{\begin{aligned}\arccos z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\left[z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \right]\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}

{\begin{aligned}\arctan z&{}=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arccot} z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arctan z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{-1}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\left[z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots \right]\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arccsc} z&{}=\arcsin \left(z^{-1}\right)\\&{}=z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{-(2n+1)}}{2n+1}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}

欧拉发现了反正切的更有效的级数：

\arctan x={\frac {x}{1+x^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kx^{2}}{(2k+1)(1+x^{2})}}

。

（注意对n= 0在和中的项是空积1。）

反三角函数的不定积分

{\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C\\\int \arctan x\,dx&{}=x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccot} x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc} x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}

使用分部积分法和上面的简单导数很容易得出它们。

舉例

使用 $\int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u$ ，設

{\begin{aligned}u&{}=&\arcsin x&\quad \quad \mathrm {d} v=\mathrm {d} x\\\mathrm {d} u&{}=&{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}&\quad \quad {}v=x\end{aligned}}

則

\int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin x-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x

換元

k=1-x^{2}.\,

則

\mathrm {d} k=-2x\,\mathrm {d} x

且

\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2}}\int {\frac {\mathrm {d} k}{\sqrt {k}}}=-{\sqrt {k}}

換元回x得到

\int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C

加法公式和減法公式

arcsin x + arcsin y

\arcsin x+\arcsin y=\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),{\text{ when }}xy\leq 0,{\text{ or  }}x^{2}+y^{2}\leq 1

\arcsin x+\arcsin y=\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),{\text{ when }}x>0{\text{ and }}y>0{\text{ and }}x^{2}+y^{2}>1

\arcsin x+\arcsin y=-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),{\text{ when }}x<0{\text{ and }}y<0{\text{ and }}x^{2}+y^{2}>1

arcsin x - arcsin y

\arcsin x-\arcsin y=\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),{\text{ when }}xy\geq 0,{\text{ or }}x^{2}+y^{2}\leq 1

\arcsin x-\arcsin y=\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),{\text{ when }}x>0{\text{ and }}y<0{\text{ and }}x^{2}+y^{2}>1

\arcsin x-\arcsin y=-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),{\text{ when }}x<0{\text{ and }}y>0{\text{ and }}x^{2}+y^{2}>1

arccos x + arccos y

\arccos x+\arccos y=\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),x+y\geq 0

\arccos x+\arccos y=2\pi -\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),x+y<0

arccos x - arccos y

\arccos x-\arccos y=-\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),x\geq y

\arccos x-\arccos y=\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),x<y

arctan x + arctan y

\arctan \,x+\arctan \,y=\arctan \,{\frac {x+y}{1-xy}},xy<1

\arctan \,x+\arctan \,y=\pi +\arctan \,{\frac {x+y}{1-xy}},x>0,xy>1

\arctan \,x+\arctan \,y=-\pi +\arctan \,{\frac {x+y}{1-xy}},x<0,xy>1

arctan x - arctan y

\arctan x-\arctan y=\arctan {\frac {x-y}{1+xy}},xy>-1

\arctan x-\arctan y=\pi +\arctan {\frac {x-y}{1+xy}},x>0,xy<-1

\arctan x-\arctan y=-\pi +\arctan {\frac {x-y}{1+xy}},x<0,xy<-1

arccot x + arccot y

\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} y=\operatorname {arccot} {\frac {xy-1}{x+y}},x>-y

\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} y=\operatorname {arccot} {\frac {xy-1}{x+y}}+\pi ,x<-y

arcsin x + arccos x

\arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}},|x|\leq 1

arctan x + arccot x

\arctan x+\operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}

註釋與引用

^ 设 $\theta =\arccos x$ ，得到：
${\frac {d\arccos x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\cos \theta }}={\frac {-1}{\sin \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上 $|x|<1$ 设 $\theta =\arctan x$ ，得到：
${\frac {d\arctan x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\tan \theta }}={\frac {1}{\sec ^{2}\theta }}={\frac {1}{1+\tan ^{2}\theta }}={\frac {1}{1+x^{2}}}$
设 $\theta =\operatorname {arccot} x$ ，得到：
${\frac {d\operatorname {arc} \cot x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\cot \theta }}={\frac {-1}{\csc ^{2}\theta }}={\frac {1}{1+\cot ^{2}\theta }}={\frac {-1}{1+x^{2}}}$
设 $\theta =\operatorname {arcsec} x$ ，得到：
${\frac {d\operatorname {arc} \sec x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sec \theta }}={\frac {1}{\sec \theta \tan \theta }}={\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上 $|x|>1$ ，比較容易被忽略是 $\sec \theta$ 產生的絕對值 $\sec ^{-1}\theta$ 的定義域是 $0\leq \theta \leq \pi$ ，其所產生的反函數皆為正，所以需要加上絕對值。
设 $\theta =\operatorname {arccsc} x$ ，得到：
${\frac {d\operatorname {arc} \csc x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\csc \theta }}={\frac {-1}{\csc \theta \cot \theta }}={\frac {-1}{\left|x\right|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上 $|x|>1$ ，比較容易被忽略是 $\csc \theta$ 產生的絕對值 $\csc ^{-1}\theta$ 的定義域是 $-{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}},\theta \neq 0$ ，其所產生的反函數皆為負，所以需要加上絕對值。

参见

外部链接

[1] 设 $\theta =\arccos x$ ，得到：
${\frac {d\arccos x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\cos \theta }}={\frac {-1}{\sin \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上 $|x|<1$ 设 $\theta =\arctan x$ ，得到：
${\frac {d\arctan x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\tan \theta }}={\frac {1}{\sec ^{2}\theta }}={\frac {1}{1+\tan ^{2}\theta }}={\frac {1}{1+x^{2}}}$
设 $\theta =\operatorname {arccot} x$ ，得到：
${\frac {d\operatorname {arc} \cot x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\cot \theta }}={\frac {-1}{\csc ^{2}\theta }}={\frac {1}{1+\cot ^{2}\theta }}={\frac {-1}{1+x^{2}}}$
设 $\theta =\operatorname {arcsec} x$ ，得到：
${\frac {d\operatorname {arc} \sec x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sec \theta }}={\frac {1}{\sec \theta \tan \theta }}={\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上 $|x|>1$ ，比較容易被忽略是 $\sec \theta$ 產生的絕對值 $\sec ^{-1}\theta$ 的定義域是 $0\leq \theta \leq \pi$ ，其所產生的反函數皆為正，所以需要加上絕對值。
设 $\theta =\operatorname {arccsc} x$ ，得到：
${\frac {d\operatorname {arc} \csc x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\csc \theta }}={\frac {-1}{\csc \theta \cot \theta }}={\frac {-1}{\left|x\right|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上 $|x|>1$ ，比較容易被忽略是 $\csc \theta$ 產生的絕對值 $\csc ^{-1}\theta$ 的定義域是 $-{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}},\theta \neq 0$ ，其所產生的反函數皆為負，所以需要加上絕對值。

[1]

@@ 第190行： / 第190行： @@
 \begin{align}
 \arcsin z & {}= z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots\\
-& {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}
+& {}= \sum_{n=0}^\infty \left[ \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right] \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}
 ; \qquad | z | \le 1
 \end{align}
@@ 第198行： / 第198行： @@
 \begin{align}
 \arccos z & {}= \frac {\pi} {2} - \arcsin z \\
-& {}= \frac {\pi} {2} - (z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots ) \\
+& {}= \frac {\pi} {2} - \left[z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots \right] \\
-& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}
+& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left[ \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right] \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}
 ; \qquad | z | \le 1
 \end{align}
@@ 第215行： / 第215行： @@
 \begin{align}
 \arccot z & {}= \frac {\pi} {2} - \arctan z \\
-& {}= \frac {\pi} {2} - ( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots ) \\
+& {}= \frac {\pi} {2} - \left( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots \right) \\
 & {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}
 ; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i
@@ 第224行： / 第224行： @@
 \begin{align}
 \arcsec z & {}= \arccos\left(z^{-1}\right) \\
-& {}= \frac {\pi} {2} - (z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^{-7}} {7} + \cdots ) \\
+& {}= \frac {\pi} {2} -\left[z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^{-7}} {7} + \cdots \right] \\
 & {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {(2n+1)}
 ; \qquad \left| z \right| \ge 1
@@ 第234行： / 第234行： @@
 \arccsc z & {}= \arcsin\left(z^{-1}\right) \\
 & {}= z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {z^{-7}} {7} +\cdots \\
-& {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {2n+1}
+& {}= \sum_{n=0}^\infty \left[ \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right] \frac {z^{-(2n+1)}} {2n+1}
 ; \qquad \left| z \right| \ge 1
 \end{align}