德拜函数：修订间差异

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德拜函数是1912年由彼得·德拜在1912年提出用于估算声子对固体的比热的德拜模型是创立的函数，定义如下

D_{n}(x)={\frac {n}{x^{n}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{e^{t}-1}}\,dt.

$D_{n}(x)=1-{\frac {n}{2(n+1)}}x+n\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k+n)(2k)!}}x^{2k},\quad |x|<2\pi ,\ n\geq 1.$

其中 $B_{2k}$ 是伯努利数。

$D_{n}(x)={\frac {n*((-1)^{n}*n!*\zeta (n+1)+\sum _{m=0}^{n}((-1)^{n-m+1}*n!*x^{m}*Li_{n-m+1}(e^{x}/m!))}{x^{n+1}}}-{\frac {n}{n+1}}$ ^[1]

其中 $Li_{m}(x)$ 是m阶多重对数

For $x\rightarrow 0$ :

D_{n}(0)=1.

For $x\ll 1$ : $D_{n}$ : $D_{n}(x)\propto \int _{0}^{\infty }{\rm {d}}t{\frac {t^{n}}{\exp(t)-1}}=\Gamma (n+1)\zeta (n+1).\quad [\Re \,n>0]$ ^[2]

^ A. E. Dubinov, A. A. Dubinova ,Exact integral-free expressions for the integral Debye functions,Technical Physics Letters,December 2008, Volume 34, Issue 12, pp 999-1001
^ Gradshteyn, I. S., & Ryzhik, I. M. (1980). Table of integrals. Series, and Products (Academic, New York, 1980), (3.411).
^ Milton abramowitz Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions,National Bureau of Standards, p998 1972

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	其中<math>B_{2k}</math>是[[伯努利数]]。		其中<math>B_{2k}</math>是[[伯努利数]]。

	<math>D_n(x)=\frac{n((-1)^nn!\zeta(n+1)+\sum_{m=0}^{n} ((-1)^(n-m+1)n!x^mLi_{n-m+1}(~~exp(~~x)/m!))}{x^{n+1}}-\frac{n}{n+1}</math><ref>A. E. Dubinov, A. A. Dubinova ,Exact integral-free expressions for the integral Debye functions,Technical Physics Letters,December 2008, Volume 34, Issue 12, pp 999-1001</ref>		<math>D_n(x)=\frac{n((-1)^nn!\zeta(n+1)+\sum_{m=0}^{n} ((-1)^{n-m+1}n!x^mLi_{n-m+1}(e^{x}/m!))}{x^{n+1}}-\frac{n}{n+1}</math><ref>A. E. Dubinov, A. A. Dubinova ,Exact integral-free expressions for the integral Debye functions,Technical Physics Letters,December 2008, Volume 34, Issue 12, pp 999-1001</ref>