塞瓦定理

塞瓦線段（英語：cevian）是各顶点与其对边或对边延长线上的一点连接而成的直线段。塞瓦定理指出：如果$\triangle ABC$的塞瓦線段AD、BE、CF通过同一点O，则

${\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\cdot {\frac {AF}{FB}}=1$

它的逆定理同样成立：若D、E、F分别在$\triangle ABC$的边BC、CA、AB或其延长线上（都在边上或有两点在延长线上），且满足

${\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\cdot {\frac {AF}{FB}}=1$，

则直线AD、BE、CF共点或彼此平行（於無限遠處共點）。当AD、BE、CF中的任意两直线交于一点時，则三直线共点；当AD、BE、CF中的任意两直线平行时，则三直线平行。

它最先由意大利數學家喬瓦尼·塞瓦證明。

证明

$\because \quad {\frac {BD}{DC}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle ABD}}{\mathrm {S} _{\triangle ADC}}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle OBD}}{\mathrm {S} _{\triangle ODC}}}.$

由等比性质,

${\frac {BD}{DC}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle ABD}-\mathrm {S} _{\triangle OBD}}{\mathrm {S} _{\triangle ADC}-\mathrm {S} _{\triangle ODC}}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle ABO}}{\mathrm {S} _{\triangle CAO}}}.$

同理 ${\frac {CE}{EA}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle BCO}}{\mathrm {S} _{\triangle ABO}}},\;{\frac {AF}{FB}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle CAO}}{\mathrm {S} _{\triangle BCO}}}.$

$\therefore \quad {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\cdot {\frac {AF}{FB}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle ABO}}{\mathrm {S} _{\triangle CAO}}}\cdot {\frac {\mathrm {S} _{\triangle BCO}}{\mathrm {S} _{\triangle ABO}}}\cdot {\frac {\mathrm {S} _{\triangle CAO}}{\mathrm {S} _{\triangle BCO}}}=1.$

证毕。

系理：角平分線定理

在三角形$ABC$，角A的角平分線交$BC$於$D$，${\frac {DB}{DC}}={\frac {AB}{AC}}$。

另見

• 梅涅劳斯定理
• 莫雷角三分線定理