模型范畴

在数学、尤其是同伦论中，模型范畴是带有弱等价、纤维化_(数学)和上纤维化这三类态射的范畴，是从传统的拓扑空间或链复形的同倫範疇（即导出范畴）中抽象化得来。模型范畴的概念最初由丹尼尔 奎伦 （1967）引入。

近年来，模型范畴的语言应用到了代数K理论和代数几何的部分研究中。在这些分支中，使用同伦论的研究方法得出过深刻的结果。

动机

模型范畴提供了研究同伦论的一个自然的环境：拓扑空间的范畴就是一个模型范畴，其中同伦正是一般意义上的同伦。相似地，许多可以视为拓扑空间的对象也往往带有模型范畴结构，例如单纯集合的范畴。

另一个模型范畴是R-模的链复形，其中R 是可交换环。在这个意义下的同伦论正是同调代数。如此同调即可视为同伦的一种，因而使得将同调向群和R-代数等的推广成为可能：这也是模型范畴理论最初的主要应用之一。由于这个特例涉及的是同调，对一般的闭模型范畴的研究有时则被视作同伦代数。

例子

拓扑空间

拓撲空間範疇Top带有一个模型范畴，以塞尔纤维化为纤维化，和以弱同伦等价为弱等价。然而上纤维化则与通常的上纤维化稍有不同，而是更小的一类、满足对非循环的塞尔纤维化的左提升性质的映射。等价地，上纤维化是相对胞复形的收缩；见如Hovey的Model Categories一书。

这并不是Top上仅有的模型范畴结构——一般而言给定的范畴上可以有许多种不同的模型范畴。如拓扑空间范畴就带有另一种模型范畴结构，以胡列维茨纤维化为纤维化，以标准的上纤维化为上纤维化，和以（强）同伦等价为弱等价。

链复形

（非负分级）的R-模链复形带有至少以下两套模型结构，在同调代数中都相当重要：

• 弱等价为诱导出同调同构的映射
• 上纤维化为在每一级上都是单同态、上核皆为投射模的映射，
• 纤维化为在除第零级外每一级都是满同态的映射；

以及

• 弱等价为诱导出同调同构的映射
• 纤维化为在每一级上都是满同态、核皆为内射模的映射，
• 上纤维化为除第零级外每一级都是单同态的映射。

这也解释了为何计算R-模的Ext群时既可以对其源进行投射分解、也可以对其目标进行内射分解：这不过是在两套模型结构内分别进行上纤维子替换和纤维子替换而已。

R-模的任意链复形的范畴则带有如下模型结构：

• 弱等价为链复形的链同伦，
• 上纤维化为在每一级上都是分裂的R-模单同态的映射，
• 纤维化为在每一级上都是分裂的R-模满同态的映射。

一些构造

因为始对象和终对象分别是空图表的上极限和极限，由上完备性和完备性可知任一闭模型范畴都有一始对象与一终对象。给定模型范畴中的对一个对象X，若从始对象到X 的唯一映射是上纤维化，则称X 为上纤维子。对应地，若从X 到终对象的唯一映射是纤维化，则称X 为纤维子。

如果Z 和X 是一个模型范畴中的对象，Z 是上纤维子，且存在从Z 到X 的弱等价，那么称Z 为X 的上纤维子替换。相似地，如果Z 是纤维子，且存在从X 到Z 的弱等价，那么称Z 为X 的纤维子替换。一般来说，模型范畴中的对象并非都是纤维子或上纤维子，仅是偶尔如此。例如，在单纯集合的标准模型范畴中所有对象都是上纤维子，而在拓扑空间的标准模型范畴中所有对象都是纤维子。值得注意的是，每个对象都同时有一个纤维子替换和一个上纤维子替换。

借助圆柱对象可定义左同伦，而借助路径空间对象则可定义右同伦，而当域为上纤维子、陪域为纤维子时，这两个概念等价。在这个情况下，同伦构成了模型范畴中态射集上的等价关系，因而给出了态射集上的同伦类。

基于提升性质对纤维化和上纤维化的描述

上纤维化可描述成对所有非循环纤维化具有左提升性质的映射，而非循环上纤维化则是对所有纤维化具有左提升性质的映射。相似地，纤维化可描述成对所有非循环上纤维化具有右提升性质的映射，而非循环纤维化则是对所有上纤维化具有右提升性质的映射。在这个意义下，范畴的模型结构完全由弱等价加上纤维化或纤维化之一而唯一确定。

同伦和同伦范畴

模型范畴C 的同伦范畴是C 对于弱等价这类映射的局部化。这个同伦范畴的定义不取决于纤维化和上纤维化的选择，然而，纤维化和上纤维化这两类映射可用于给出同伦范畴的另一个描述，尤其可以避免一些在对一般范畴进行局部化时遇到的集合论问题。更精确的说，“模型范畴基本定理”声明，C 的同伦范畴等价于一个以C 中同为纤维子和上纤维子的对象为对象、以C 中态射的左同伦类（或等价地，右同伦类）为态射的范畴。（例如，见Hovey的Model Categories，定理1.2.10）

将基本定理应用于标准的拓扑空间模型范畴，可得其同伦范畴等价于对象为CW复形、态射为连续映射的同伦类的范畴。“同伦范畴”因而得名。

奎伦伴随

模型范畴C 和D 之间的奎伦伴随是一对伴随函子

$F:C\leftrightarrows D:G$

并且F 保持上纤维化和非循环上纤维化，或等价地由闭模型公理可得，G 保持纤维化和非循环纤维化。这样，F 和G 诱导出一对同伦范畴之间的伴随

$LF:Ho(C)\leftrightarrows Ho(D):RG$

另外，对于后者是否范畴的等价有一套明确的判断条件；若它们是等价，则称F 和G 为奎伦等价。

奎伦伴随的标准例子是单纯集合范畴和拓扑空间范畴之间的标准伴随

$|-|:s\mathbf {Set} \leftrightarrows \mathbf {Top} :Sing$

涉及单纯集合的几何实现函子和拓扑空间的奇异链函子。注意虽然范畴sSet和Top并不等价，但是他们的同伦范畴却等价。因此，单纯集合常常用作拓扑空间的模型，可以看作是它们同伦范畴等价的结果。

See also

• (∞,1)-category
• Cocycle category
• Stable model category

References

• D.-C. Cisinski: Les préfaisceaux commes modèles des types d'homotopie, Astérisque, (308) 2006, xxiv+392 pp.
• W. G. Dwyer and J. Spalinski: Homotopy Theories and model categories, 1995. [1]
• Philip S. Hirschhorn: Model Categories and Their Localizations, 2003, ISBN 0-8218-3279-4.
• Mark Hovey: Model Categories, 1999, ISBN 0-8218-1359-5.
• K. H. Kamps and T. Porter: Abstract homotopy and simple homotopy theory, 1997, World Scientific, ISBN 981-02-1602-5.
• G. Maltsiniotis: La théorie de l'homotopie de Grothendieck. Astérisque, (301) 2005, vi+140 pp.
• Quillen, Daniel G., Homotopical algebra, Lecture Notes in Mathematics, No. 43 43, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1967, MR 0223432, doi:10.1007/BFb0097438 

Further reading

• http://mathoverflow.net/questions/78400/do-we-still-need-model-categories/
• http://mathoverflow.net/questions/8663/infinity-1-categories-directly-from-model-categories/8675#8675
• P. Goerss and K. Schemmerhorn, Model Categories and Simplicial Methods

External links

• nLab的Model category條目
• Model category in Joyal's catlab