交叉相乘

数学上，尤其是在四则运算和初等代数中，给定一个两边各一个分式或比的等式，就可以用交叉相乘来化简等式或求出变量。 给定一个这样的等式：

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

(当b和d都不等于零时)，可以交叉相乘来得到：

$ad=bc\qquad$或$\qquad a={\frac {bc}{d}}.$

欧几里得几何中，相同的运算可以通过相似三角形得到。

过程

实践中，交叉相乘的方法就是将两边的分子各乘以另一边的分母。

${\frac {a}{b}}\nwarrow {\frac {c}{d}}\quad {\frac {a}{b}}\nearrow {\frac {c}{d}}.$

这种方法的数学证明是由下列数学过程推导而来的。我们从这个简单的等式开始：

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ (b和d都不等于零)

我们可以两边同乘以相等的数而两边仍然相等，所以如果我们在这个等式两边同乘以bd，我们就得到了: ${\frac {a}{b}}\times bd={\frac {c}{d}}\times bd.$ 我们可以把等式左边的两个b和右边的两个d约去，剩下

$ad=bc$

我们在这里也可以两边同除以:${\frac {ad}{bd}}={\frac {cb}{db}}.$来得到：

$a={\frac {bc}{d}}$

我们也可以两边同乘以d/d和b/b (都等于1)，得到：

${\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{d}}={\frac {c}{d}}\times {\frac {b}{b}}$

所以：

${\frac {ad}{bd}}={\frac {cb}{db}}.$

两边同除以bd得到：

$ad=cb.$

这些步骤中的单独的每一步都基于等式性质，交叉相乘是一条捷径，也是一个易于理解的，可以教给学生的过程。

使用方法

这是一个用来化简等式或求出变量数值的数学方法。如果我们遇到一个这样的方程：

${\frac {x}{b}}={\frac {c}{d}}$

我们可以用交叉相乘解出

$x={\frac {bc}{d}}.$

举个例子，如果我们要求出一辆车在7小时内能开多远，我们如果知道它是匀速的，且它已在之前的3小时内开了90英里，将这个问题转为比例我们得到：

${\frac {x}{7\ \mathrm {hours} }}={\frac {90\ \mathrm {miles} }{3\ \mathrm {hours} }}.$

交叉相乘得到：

${\frac {x}{7\ \mathrm {hours} }}={\frac {90\ \mathrm {miles} }{3\ \mathrm {hours} }}.$

所以

${\frac {x}{7\ \mathrm {hours} }}={\frac {90\ \mathrm {miles} }{3\ \mathrm {hours} }}.$