黑格纳数:修订间差异
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黑格纳数指一些非平方數的正整數,其虚二次域Q(√−d)的類数为1,亦即其整數環為唯一分解整環[註解 1][1]。黑格纳数只有以下九個:
1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163。(OEIS數列A003173)
高斯曾猜測符合上述特性的數只有九個,但未提出證明,1952年庫爾特·黑格納提出不完整的證明,後來由哈羅德·斯塔克提出完整的證明,即為斯塔克–黑格納定理。
歐拉的質數多項式
歐拉的質數多項式如下:
在n = 1, ..., 40時會產生不同的40個整數,這和黑格纳数163 = 4 · 41 − 1.
歐拉公式,取值為1,... 40和以下的多項式
讓取值0,... 39時等效,而Rabinowitz[2]證明了
在為質數若且惟若其判別式等於負的黑格纳数。
(若代入會得到一定不是質數,因此最大值只能取到)
1, 2和3不符合要求,因此符合條件的黑格纳数為,也就表示可以讓歐拉公式產生質數的n為,這些數字被弗朗索瓦·勒·利奥奈稱為歐拉的幸運數[3]。
拉马努金常数
這個數字是在1859年由數學家夏爾·埃爾米特發現[5],在1975年愚人節的《科学美国人》[6],"數學遊戲"的專欄作家马丁·加德纳故意聲稱這個數字其實是整數,而印度數學天才斯里尼瓦瑟·拉马努金也預測了這個數很接近整數,因此以他的名字來命名。
這個巧合可以用j-invariant的複數乘法及q展開來表示。
註解
- ^ Q(√−d)的整數環為唯一分解整環,也就表示Q(√−d)的數字都只有一種因數分解方式,例如Q(√−5)的整數環不是唯一分解整環,因為6可以以兩種方式在 中表成整數乘積: 和 。
參考資料
- ^ Conway, John Horton; Guy, Richard K. The Book of Numbers. Springer. 1996: 224. ISBN 0-387-97993-X.
- ^ Rabinowitz, G. "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge) 1, 418–421, 1913.
- ^ Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, pp. 88 and 144, 1983.
- ^ 埃里克·韦斯坦因. Transcendental Number. MathWorld. gives , based on Nesterenko, Yu. V. "On Algebraic Independence of the Components of Solutions of a System of Linear Differential Equations." Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495–512, 1974. English translation in Math. USSR 8, 501–518, 1974.
- ^ Barrow, John D. The Constants of Nature. London: Jonathan Cape. 2002. ISBN 0-224-06135-6.
- ^ Gardner, Martin. Mathematical Games. Scientific American (Scientific American, Inc). April 1975, 232 (4): 127.
外部連結
- 埃里克·韦斯坦因. Heegner Number. MathWorld.
- Sloane, N.J.A. (编). Sequence A003173 (Heegner numbers: imaginary quadratic fields with unique factorization). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld: Detailed history of problem.
- Clark, Alex. 163 and Ramanujan Constant. Numberphile. Brady Haran.