当且仅当：修订间差异

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2017年6月21日 (三) 05:09的版本

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当且仅当的逻辑符号

当且仅当（If and only if（英语：If and only if））或(If only if（英语：If only if）)，中国大陆称作当且仅当，臺灣称作若且唯若，在数学、哲学、逻辑学以及其他一些技术性领域中被用来表示“在，并且仅仅在这些条件成立的时候”之意，在英语中的对应标记为iff。虽然“A当且仅当B”是一个标准用法，但是公认的其他同样说法还有“A是B的充分必要条件（或稱為充要條件）”，或者“A成立，正当B”。

一般而言，當我們看到“A若且唯若B”，我們可以知道“如果A成立時，則B一定成立”、“如果B成立時，則A也一定成立”、“如果A不成立時，則B也一定不成立”、“如果B不成立時，則A也一定不成立”。

当且仅当

标记

与此相对应的逻辑符号是 $\leftrightarrow$ 和 $\Leftrightarrow$ 。这两个通常被当作是相等的。但是，一些数学教科书，特别是那些关于一阶逻辑而非命题逻辑对此有所区别，在那里前者被用来表示逻辑公式，后者表示那些公式的推理（譬如说在元逻辑中）。

证明

设A与B為两命题，在证明“A当且仅当B”时，这相当于去同时证明陈述“如果A成立，则B成立”和“如果B成立，则A成立”。另外，也可以证明“如果A成立，则B成立”和“如果A不成立，则B不成立”，后者作为对偶，等价于“如果B成立，则A成立”。

有关英语缩写Iff的开端

在出版物中，英语Iff的表示标记最早出现在约翰·L·凯利的《一般拓扑学》中。它的发明通常被认为是归于数学家保罗·哈尔莫斯，但在哈尔莫斯的自传中却声明该标记另有出处，他只是首先在数学领域使用^[1]。

“当”与“当且仅当”

简单地，如下的两个例子可以说明这两者的不同：

当冰淇淋是香草口味的，小王会吃这个冰淇淋。（这等于说：如果冰淇淋是香草口味的，那么小王会吃这个冰淇淋。）
当且仅当冰淇淋是香草口味，小王会吃这个冰淇淋。（这等于说：如果冰淇淋是香草口味的，那么小王会吃这个冰淇淋；并且，如果小王吃冰淇淋，那么这个冰淇淋就是香草口味的。）

第1句只是说小王会吃香草口味的冰淇淋。但是这并没有排除他还会吃香草以外口味冰淇淋的可能性。可能他会吃，可能不会。这个句子并没有告诉我们。我们所能够肯定的是他不会拒绝香草口味的冰淇淋。

但是第2句阐述的非常明确，就是小王会吃并且只吃香草口味的。他不会吃任何其它口味的冰淇淋。

进一步的思考

用「当且仅当」连接两个句子造成的句子被称为是“双条件句”。“当且仅当”把两个句子结合成新的句子。它不应该跟描述两个句子之间关系的“逻辑等价”混淆。

双条件句“‘A’当且仅当‘B’”，是用“A”和“B”来陈述A和B所描述的事件状况之间的关系。

相对照的，“‘A’逻辑等价于‘B’”则注重两个句子：它只是陈述两个句子之间的关系，而不是它们所介绍的什么事情。

这里的区别非常容易混淆，已经使得很多哲学家迷惑。当然，在“A”逻辑等价于“B”的时候，“A”当且仅当“B”为真，但是它的逆并不成立。让我们重新考虑上面的句子：

小王今天要吃冰淇淋当且仅当它是香草口味的。

很清楚，对于这个特定的双条件句，两个半句之间并没有逻辑等价。如想了解更多的差异，请参照W. V. Quine的《数理逻辑，第5节》。

在哲学和逻辑学中，“当且仅当”通常用作定义，因为定义被认为是全称量化的双条件句。但在数学中，相比起“当且仅当”，如果通常被用于定义。这里给出一些使用到“当且仅当的”真陈述，也是真双条件句（第一句是一个定义的例子）：

一个人是单身男性当且仅当他是一个未婚的而且是可结婚的男人。
x+1=2当且仅当x=1。
对于任意的A, B, 和 C：(A & B) & C 当且仅当A & (B & C)。（因为这句句子是用变量和&的形式来写得，陈述也通常会使用“ $\leftrightarrow$ ”，或者其它用来写双条件句的符号，来代替“当且仅当”）

更一般的用法

“当且仅当”在逻辑领域以外，如同在数学出版物或者普通的谈话中都会用到。如同上面所说，它指的是某个陈述是另外一个的充分必要条件。这是一个数学术语的例子。（即使如此，相比起“当且仅当”，“如果”一般多出现在定义的陈述中。）

参考资料

^ Nicholas J. Higham. Handbook of writing for the mathematical sciences 2nd. SIAM. 1998: 24. ISBN 978-0-89871-420-3.

参见

[Higham1998-1] Nicholas J. Higham. Handbook of writing for the mathematical sciences 2nd. SIAM. 1998: 24. ISBN 978-0-89871-420-3.

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-'''当且仅当'''（'''[[If and only if]]'''）或('''[[If only if]]''')，中国大陆称作'''当且-{}-仅当'''，臺灣称作'''若且-{}-唯若'''，在[[数学]]、[[哲学]]、[[逻辑学]]以及其他一些技术性领域中被用来表示“在，并且仅仅在这些条件成立的时候”之意，在英语中的对应标记为'''iff'''。虽然“A当且仅当B”是一个标准用法，但是公认的其他同样说法还有“A是B的[[充分必要条件]]（或稱為充要條件）”，或者“A成立，正当B”。
+'''当且仅当'''（'''{{tsl|en|If and only if}}'''）或('''{{tsl|en|If only if}}''')，中国大陆称作'''当且-{}-仅当'''，臺灣称作'''若且-{}-唯若'''，在[[数学]]、[[哲学]]、[[逻辑学]]以及其他一些技术性领域中被用来表示“在，并且仅仅在这些条件成立的时候”之意，在英语中的对应标记为'''iff'''。虽然“A当且仅当B”是一个标准用法，但是公认的其他同样说法还有“A是B的[[充分必要条件]]（或稱為充要條件）”，或者“A成立，正当B”。
 一般而言，當我們看到“A若且唯若B”，我們可以知道“如果A成立時，則B一定成立”、“如果B成立時，則A也一定成立”、“如果A不成立時，則B也一定不成立”、“如果B不成立時，則A也一定不成立”。

查论编逻辑联结词
恆真（ $\top$ ）
与非（ $\uparrow$ ）反蕴涵（ $\leftarrow$ ）蕴涵（ $\rightarrow$ ）或（ $\lor$ ）
非（ $\neg$ ）异或（ $\oplus$ ）双条件（ $\leftrightarrow$ ）命题
或非（ $\downarrow$ ）非蕴涵（ $\nrightarrow$ ）反非蕴涵（ $\nleftarrow$ ）与（ $\land$ ）
恆假（ $\bot$ ）