變分法基本引理

在數學裏，特別是在變分法裏，變分法基本引理（fundamental lemma of calculus of variations）是一種專門用來變換問題表述的引理，可以將問題從弱版表述（weak formulation）（變分形式）改變為強版表述（微分形式）。

敘述

$C^{k}$ 代表$k$阶导数连续（$k$阶光滑）的函数空间，$C^{\infty }$代表无限光滑的函数空间。

變分法基本引理：

設 $f(x)\in C^{\infty }[a,\ b]\,\!$

若任意 $h(x)\in C^{\infty }[a,\ b]\,\!$ 皆滿足下列兩式

$\int _{a}^{b}f(x)\,h(x)\,dx=0\,\!$

$h(a)=h(b)=0\,\!$

則 ${\mbox{∀}}x\in (a,\ b):f(x)=0\,\!$。

證明

設 $f(x)\in C^{\infty }[a,\ b]\,\!$ 且 $f(x)\neq 0\,\!$ ，

因為只要存在一個不滿足 $\int _{a}^{b}f(x)\,h(x)\,dx=0\,\!$ 的 $h(x)$ ，就可以證明 $f(x)=0\,\!$ ，因此我們只須證明其中一個特例。

令 $r(x)\,\!$ 滿足下列兩個條件：

$r(a)=r(b)=0\,\!$ ；

${\mbox{∀}}x\in (a,\ b):r(x)>0\,\!$ ；

並且令 $h(x)=r(x)f(x)\,\!$。

由 $h(x)=r(x)f(x)\,\!$ 可得到

$0=\int _{a}^{b}f(x)h(x)\;dx=\int _{a}^{b}r(x)f(x)^{2}\;dx\,\!$ 。

因為 $r(x)\,\!$ 在 $(a,\ b)\,\!$ 是正值，所以$f(x)\,\!$ 必須恆等於 0 ，與假設 $f(x)\neq 0\,\!$ 矛盾。

故 ${\mbox{∀}}x\in (a,\ b):f(x)=0\,\!$ 。

應用

這引理可用來證明泛函

$J[f(t,y,{\dot {y}})]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}f(t,y,{\dot {y}})\,dt\,\!$

的極值是歐拉-拉格朗日方程式

${d \over dt}\left({\partial f(t,y,{\dot {y}}) \over \partial {\dot {y}}}\right)-{\partial f(t,y,{\dot {y}}) \over \partial y}=0\,\!$

的弱解。

歐拉-拉格朗日方程式在經典力學和微分幾何佔有重要的角色。

參閱

• 拉格朗日力學
• 哈密頓原理
• 泛函分析

參考文獻

• Leitmann, George. The Calculus of Variations and Optimal Control: An Introduction. Springer. 1981. ISBN 0306407078.